Aufgabe 1: Würfel Oberfläche und Volumen
Gegeben ist ein Würfel mit a = 4,1 dm
a) Oberfläche O = ? b) Volumen V = ?
Lösung:
a) Berechnung der Oberfläche
O = 6 * a * a (alternativ: O = 6 * a²)
O = 6 * 4,1 * 4,1
O = 800,86 cm²
A: Die Oberfläche beträgt 800,86 cm².
b) Berechnung des Volumens:
V = a * a * a (alternativ: V = a³)
V = 4,1 * 4,1 * 4,1
V = 68,92 cm³
A: Das Volumen beträgt 68,92 cm³.
Aufgabe 2: Würfel alle Größen berechnen
Würfel mit a = 4,5 cm
a) Volumen?
b) Oberfläche?
c) Gesamtkantenlänge?
d) Flächendiagonale?
e) Raumdiagonale?
Lösung:
a) Berechnung des Volumens:
V = a * a * a (alternativ: V = a³)
V = 4,5 * 4,5 * 4,5
V = 91,1125 cm³
A: Das Volumen beträgt 191,1125 cm³.
b) Berechnung der Oberfläche:
O = 6 * a * a (alternativ: O = 6 * a²)
O = 6 * 4,5 * 4,5
O = 121,5 cm²
A: Die Oberfläche beträgt 121,5 cm².
c) Berechnung der Gesamtkantenlänge:
GK = 12 * a
GK = 12 * 4,5 cm
GK = 54 cm
A: Die Gesamtkantenlänge beträgt 54 cm.
d) Berechnung der Flächendiagonale:
d = a * √2
d = 4,5 * √2
d = 6,36 cm
A: Die Flächendiagonale beträgt 6,36 cm.
e) Berechnung der Raumdiagonale:
d = a * √3
d = 4,5 * √3
d = 7,79 cm
A: Die Raumdiagonale beträgt 7,79 cm.
Aufgabe 3: Würfel Inkugel- und Umkugelradius berechnen
Würfel mit einer Seitenkante von 3,6 cm.
a) Berechne den Radius der Inkugel
b) Berechne den Radius der Umkugel
Radius Inkugel: ri = a : 2
Radius Umkugel: ru = d : 2
Lösung:
a) Berechnung den Radius der Inkugel:
Der Radius der Inkugel entspricht der halben Kantenlänge a.
ri = a : 2
ri = 3,6 : 2
ri = 1,8 cm
Der Radius der Inkugel des Würfels beträgt 1,8 cm.
b) Berechnung der Radius der Umkugel:
Der Radius der Umkugel entspricht der halben Raumdiagonale dR.
ru = dR : 2
ru = a * √3 : 2
ru = 3,6 * √3 : 2
ru = 3,1 cm
Der Radius der Umkugel des Würfels beträgt 3,1 cm.
Aufgabe 4: Würfel Oberfläche mit Verschnitt
Würfel mit a = 8 dm 5 cm
Berechne den Materialverbrauch mit 15% Verschnitt in dm².
Lösung:
a) Berechnung der Oberfläche
O = 6 * a * a
(alternativ: O = 6 * a²)
O = 6 * 8,5 * 8,5
O = 433,5 dm²
b) Berechnung des Materialverbrauchs mit Verschnitt
100% + 15% = 115%
: 100% – 433,5 dm²
* 115% – x dm²
x = 433,5 * 115 : 100
x = 498,53 dm²
A: Der Materialverbrauch mit Verschnitt beträgt 498,53 dm².
Aufgabe 5: Würfel Volumen und Masse
Würfel mit a = 2,4 cm, Dichte Gold 19,3g/cm³
a) Volumen? b) Masse?
Lösung:
V = 2,4 * 2,4 * 2,4
V = 13,824 cm³
A: Das Volumen beträgt 13,824 cm³.
b) Berechnung der Masse:
m = V * Dichte
m = 13,824 * 19,3
m = 266,8 g (gerundet auf 1 Kommastelle)
A: Das Gewicht des Würfels beträgt 266,8 g.
Aufgabe 6: Würfel oben offen Oberfläche mit Verschnitt
Ein oben offener Würfel mit a = 18 cm 4 mm soll hergestellt werden.
Berechne den Materialverbrauch mit 12% Verschnitt in dm².
Lösung:
1. Schritt: Berechnung der Oberfläche
Vorberechnung: 18 cm 4 mm = 18,4 cm
O = 5 * a * a
alternativ: O = 5 * a²
O = 5 * 18,4 * 18,4
O = 1692, 8 cm²
2. Schritt: Berechnung des Materialverbrauchs
: 100% – 1 692,8 cm²
* 112% – x cm²
(100% + 12% = 112%)
x = 1 692,8 * 112 : 100
x = 1 895,94 cm² (18,96 dm²)
A: Der Materialverbrauch für die Herstellung beträgt 18,96 dm².
Aufgabe 7: Würfel Kantenlänge berechnen
Welche Kantenlänge (cm) hat ein Würfel, dessen Volumen doppelt so groß ist wie seine Oberfläche?
Lösung:
a = gesuchte Kantenlänge
O = 6 * a²
V = a³
2. Schritt: Wir stellen eine Gleichung auf
Gleichung:
2 * Oberfläche = Volumen
2 * 6 * a² = a³
(Anmerkung: Wir müssen die kleinere Seite – hier die Oberfläche verdoppeln damit die Gleichung in einem Gleichgewicht ist.)
3. Schritt: Wir berechnen die Kantenlänge
12a² = a³ / : a²
12 = a
a = 12 cm
A: Die Kantenlänge beträgt 12 cm.
4. Schritt: Probe:
O = 6 * a² = 864 cm² * 2 = 1 728 cm²
V = a³ d.f. = 12³ = 1 728 cm³
Das ergibt eine wahre Aussage!
Aufgabe 8: Würfel Umkehraufgabe Volumen
Gegeben ist ein Würfel mit einem Volumen von 343 cm³.
Berechne:
a) Kantenlänge a = ?
b) Oberfläche = ?
Lösung:
Aufgabe 9: Würfel von der Oberfläche zum Volumen
gegeben: Würfel mit Oberfläche von 84,3 cm²
gesucht: a) Kantenlänge a b) Volumen
Lösung:
Aufgabe 10: Würfel Umkehraufgabe Kantenlänge
Die Kantenlängen eines Würfels betragen insgesamt 32,4 dm.
a) Oberfläche ? b) Volumen ?
Lösung:
Aufgabe 11: Würfel Umkehraufgabe Masse
Würfel aus Glas mit einer Dichte von 2,5g/cm³ und einem Gewicht von 0,8 kg.
a) Volumen
b) Kantenlänge a
c) Gesamtkantenlänge
Lösung:
a) Berechnung des Volumens
Vorbemerkung: Umkehraufgabe
Vorberechnung: 0,8 kg = 800 g
m = V * Dichte
800 = V * 2,5 / : 2,5
V = 320 cm³
A: Das Volumen beträgt 320 cm³
b) Berechnung der Kantenlänge a
Vorbemerkung: Umkehraufgabe
V = a³
320 = a³ / ³√
a = 6,84 cm (gerundet auf 2 Kommastellen)
A: Die Kantenlänge a beträgt 6,84 cm.
c) Berechnung der Gesamtkantenlänge:
GK = 12 * a
GK = 12 * 6,84
GK = 82,08 cm
A: Die Gesamtkantenlänge beträgt 82,08 cm.
Aufgabe 12: Würfel in Quader umgegossen
Ein Würfel mit der Kantenlänge von 6 cm wird in einen Quader umgegossen. Das Verhältnis der Grundkante des Quaders beträgt 1 : 8.
a) Berechne die die Grundkante und Höhe des Quaders
b) Berechne das Verhältnis der beiden Oberflächen
Lösung: