Tetraeder Aufgaben mit Lösungen

Kategorie: Mathematik Aufgaben
Tetraeder Übungen

Aufgabe 1: Tetraeder Oberfläche und Volumen berechnen

Tetraeder mit a = 4,8 cm

a) Oberfläche (O) ? b) Höhe (h) ? c) Volumen (V) = ?

Lösung:

a) Berechnung der Oberfläche:

Oberfläche (O) = a² * √3

Oberfläche (O) = 4,8² * √3

Oberfläche (O) = 39,91 cm²

A: Die Oberfläche beträgt 39,91 cm².

b) Berechnung der Höhe (h):

Höhe (h) = a : 3* √6

Höhe (h) = 4,8 : 3 * √6

Höhe (h) = 3,9 cm

A: Die Höhe beträgt 3,9 cm.

c) Berechnung des Volumens (V):

Volumen (V) = a³/₁₂ * √2

Volumen (V) = 4,8³/₁₂* √2

Volumen (V) = 13,03 cm³

A: Das Volumen beträgt 13,03 cm³.

Aufgabe 2: Tetraeder Oberfläche und Volumen 2

gegeben: Tetraeder mit a = 6,7 cm

gesucht: a) Oberfläche (O) ? b) Höhe (h) ? c) Volumen (V) = ?

Lösung:

a) Berechnung der Oberfläche:

Oberfläche (O) = a² * √3

Oberfläche (O) = 6,7² * √3

Oberfläche (O) = 77,75 cm²

A: Die Oberfläche beträgt 77,75 cm².

b) Berechnung der Höhe (h):

Höhe (h) = a/₃* √6

Höhe (h) = 6,7/₃ * √6

Höhe (h) = 5,47 cm

A: Die Höhe beträgt 5,47 cm.

c) Berechnung des Volumens (V):

Volumen (V) = a³ : 12 * √2

Volumen (V) = 6,7³ : 12* √2

Volumen (V) = 35,45 cm³

A: Das Volumen beträgt 35,45 cm³.

Aufgabe 3: Tetraeder Volumen und Masse berechnen

Tetraeder aus Kupfer mit a = 1,8 dm Dichte 8,96 kg/dm³

a) Volumen = ? b) Masse = ?

Lösung:

a) Berechnung des Volumens:

Volumen: V = a³ : 12 * √2

Volumen: V = 1,8³ : 12 * √2

Volumen: V = 0,697 dm³

A: Das Volumen beträgt 0,697 dm³.

b) Berechnung der Masse:

Masse: m = Volumen * Dichte

Masse: m = 0,697 * 8,96

Masse: m = 6,16 kg

A: Der Tetraeder hat ein Gewicht von 6,16 kg.

Aufgabe 4: Tetraeder Volumen und Masse 2

Tetraeder aus Eis mit der Seitenkante a = 0,6 m, Dichte vom Eis 910 kg/m³

a) Volumen = ? b) Masse = ?

Lösung:

a) Berechnung des Volumens:

Volumen: V = a³ : 12 * √2

Volumen: V = 0,6³ : 12* √2

Volumen: V = 3,67 m³

A: Das Volumen beträgt 3,67 m³.

b) Berechnung der Masse:

Masse: m = Volumen * Dichte

Masse: m = 3,67 * 920

Masse: m = 3 376,4 kg

A: Der Tetraeder aus Eis hat ein Gewicht von 3 376,4 kg.

Aufgabe 5: Tetraeder Umkehraufgabe Volumen

Tetraeder mit Volumen von 456 cm³

a) Seitenkante a = ? b) Oberfläche (O) = ?

Lösung:

a) Berechnung der Seitenkante a:

V = a³ : 12 * √2

456 = a³ : 12* √2 / * 12

5472 = a³ * √2 / : √2

3 869,288… = a³ / ³√

a = 15,7 cm

A: Die Seitenkante a beträgt 15,7 cm.

b) Berechnung der Oberfläche:

Oberfläche (O) = a² * √3

Oberfläche (O) = 15,7² * √3

Oberfläche (O) = 426,93 cm²

A: Die Oberfläche beträgt 426,93 cm².

Aufgabe 6: Tetraeder Umkehraufgabe Volumen 2

Tetraeder mit Volumen von 1 240 cm³

a) Seitenkante a = ? b) Oberfläche (O) = ?

Lösung:

a) Berechnung der Seitenkante a:

V = a³ : 12 * √2

1 240 = a³ : 12 * √2 / * 12

14 880 = a³ * √2 / : √2

10 521,74… = a³ / ³√

a = 21,91 cm

A: Die Seitenkante a ist 21,91 cm lang.

b) Berechnung der Oberfläche:

Oberfläche (O) = a² * √3

Oberfläche (O) = 21,91² * √3

Oberfläche (O) = 831,47 cm²

A: Die Oberfläche beträgt 831,47 cm².

Aufgabe 7: Tetraeder Würfel Umkehraufgabe Volumen

Ein Tetraeder hat das gleiche Volumen wie ein Würfel mit 8,5 cm Kantenlänge

gesucht: a) Seitenkante a ? b) Oberfläche (O) ?

Lösung:

a) Berechnung des Volumens vom Würfel:

Volumen = a³

Volumen = 8,5³

Volumen (V) = 614,125 cm³

A: Das Volumen beträgt 614,125 cm³.

b) Berechnung der Seitenkante a vom Tetraeder:

Anmerkung: Umkehraufgabe

Volumen = a³ : 12 * √2

614,125 = a³ : 12 * √2 / * 12

7 369,5 = a³ * √2 / : √2

5 211,02…. = a³ / ³√

a = 17,34 cm

A: Die Seitenkante a = 17,34 cm lang.

c) Berechnung der Oberfläche vom Tetraeder:

Oberfläche (O) = a² * √3

Oberfläche (O) = 17,34² * √3

Oberfläche (O) = 520,79 cm²

A: Die Oberfläche beträgt 520,79 cm².

Aufgabe 8: Tetraeder Umkehraufgabe Oberfläche

gegeben: Tetraeder mit Oberfläche 402 dm²

gesucht: a) Seitenkante a = ? b) Volumen (V) = ?

Lösung:

Anmerkung: Umkehraufgabe

a) Berechnung der Seitenkante a:

O = a² * √3

402 = a² * √3 / : √3

232,09… = a² / √

a = 15,2 dm

A: Die Seitenkante a beträgt 15,2 dm.

b) Berechnung des Volumens (V):

Volumen (V) = a³/₁₂ * √2

Volumen (V) = 15,2³/₁₂ * √2

Volumen (V) = 413,87 dm³

A: Das Volumen beträgt 413,87 dm³.

Aufgabe 9: Tetraeder Umkehraufgabe Oberfläche 2

Tetraeder aus Holz mit Oberfläche 828 dm²

a) Seitenkante a = ? b) Volumen (V) = ? c) Dichte 0,7 kg/dm³

Lösung:

a) Berechnung der Seitenkante a:

O = a² * √3

838 = a² * √3 / : √3

483,81… = a² / √

a = 22 dm

A: Die Seitenkante a beträgt 22 dm.

b) Berechnung des Volumens:

Volumen (V) = a³/₁₂ * √2

Volumen (V) = 22³/₁₂* √2

Volumen (V) = 1 254,88 dm³

A: Das Volumen beträgt 1 254,88 dm³.

c) Berechnung der Masse:

Masse (m) = V * Dichte

Masse (m) = 1 254,88 * 0,7

Masse (m) = 878,42 kg

A: Die Masse beträgt 878,42 kg.

Aufgabe 10: Tetraeder Umkehraufgabe Höhe

gegeben: Tetraeder mit h = 9,6 cm

gesucht: a) Seitenkante (a) = ? b) Höhe (h) = ? c) Volumen (V) = ?

Lösung:

a) Berechnung der Seitenkante a:

Anmerkung: Umkehraufgabe

h = a/₃* √6

9,6 = a : 3 * √6 / * 3

28,8 = a * √6 / : √6

a = 11,76 cm

A: Die Seitenkante a beträgt 11,76 cm.

b) Berechnung der Oberfläche:

Oberfläche: O = a² * √3

Oberfläche: O = 9,6² * √3

Oberfläche: O = 159,63 cm²

A: Die Oberfläche beträgt 159,63 cm².

c) Berechnung des Volumens:

Volumen: V = a³ : 12 * √2

Volumen: V = 9,6³ : 12 * √2

Volumen: V = 104,27 cm³

A: Das Volumen beträgt 104,27 cm³.

Aufgabe 11: Tetraeder Herleitung Oberfläche und Volumen

Leite die folgenden Formeln des Tetraeders her:

a) Oberfläche (O) ? b) Volumen (V) = ?

Lösung:

a) Herleitung der Oberfläche:

1. Die Oberfläche besteht aus 4 gleichseitigen Dreiecken

Oberfläche (O) = 4 * a² * √3

2. Wir kürzen Zähler und Nenner durch 4

O = 4 * a² * √3

3. Formel:

O = a² * √3

b) Herleitung des Volumens (V):

1. Vorgegebene Grundformel für das Volumen

V = Gf * h

2. Bekannte Teilformeln:

G_f = a² * √3

h = a * √6

3. Wir setzen die Teilformen für Gf und h in die Grundformel V ein:

V = a² * √3 * a * √6

4 3 3

4. Wir fassen zusammen:

V = a³ * √18

5. Teilweises Wurzelziehen:

V = a³ * √9 * √2

→ V = a³ * 3 * √2

6. Kürzen durch 3:

V = a³ * 3 * √2

7. Formel:

V = a³ * √2

Aufgabe 12: Tetraeder Herleitung der Höhe

Leite die Formel für die des Höhe des Tetraeders her:

gegeben: Hypotenuse: a und Kathete 1

Diese beträgt 2/3 von der Grundflächenhöhe (ein gleichseitiges Dreieck) – Siehe Skizze

gesucht: Kathete 2 = h

Lösung:

Herleitung der Höhe (h):

1. Wir vereinfachen die gegebene Kathete 1:

2 von der Grundflächenhöhe (ein gleichseitiges Dreieck)

d.f. 2 von a * √3

3 2

d.f. 2 * a * √3 / Wir kürzen durch 2

3 2

d.f 1 * a * √3

2. Wir setzen in die Grundformel ein:

K₂² = H² – K₁²

h² = a² – (1/3 * a * √3)²

h² = a² – (1/9 * a² * √3² )

h² = a² – 1 * a² * 3

3. Wir kürzen den zweiten Teil der rechten Seite durch 3

h² = a² – 1 * a² * 3

h² = a² – 1 * a²

4. Wir bringen die rechte Seite auf den gemeinsamen Nenner:

h² = 3a² – a²

5. Wir fassen die rechte Seite zusammen:

h² = 2a²

6. Wir ziehen die Wurzel:

h = a * √2

√3

7. Wir machen die Formel wurzelfrei:

h = a * √2 * √3

√3 * √3

8. Formel:

h = a * √6