Sechsseitige Pyramide Aufgaben mit Lösungen

Kategorie: Mathematik Aufgaben
Sechsseitige Pyramide Übungen

Aufgabe 1: Sechsseitige Pyramide Oberfläche berechnen

Gegeben ist eine sechsseitige Pyramide mit a = 4,5 m und h = 6,4 m.

a) Grundfläche ?

b) Mantel ?

c) Oberfläche ?

Lösung:

a) Berechnung der Grundfläche:

G_f = a² * √3 : 4 * 6 (die Grundfläche besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken)

G_f= 4,5² * √3 : 4 * 6

G_f = 52,61 m²

A: Die Grundfläche beträgt 52,61 m²

b) Berechnung des Mantels:

Sechsseitige Pyramide Oberfläche Übung 1

h_g= a/₂ * √3

h_g = 4,5/₂ * √3

h_g = 3,9 m

h_a = √ (h² + hg²)

h_a = √ (6,4² + 3,9²)

h_a = 7,5 m

M = a * ha * 3

M = 4,5 * 7,5 * 3

M = 101,25 m²

A: Die Mantelfläche beträgt 101,25 m²

c) Berechnung der Oberfläche:

O = G_f+ M

O = 52,61 + 101,25

O = 153,86 m²

A: Die Oberfläche beträgt 153,86 m².

Aufgabe 2: Sechsseitige Pyramide Turmdach berechnen

Turmdach in Form einer sechsseitigen Pyramide mit a = 3,2 m und h = 4,6 m

Wie viel m² Dachfläche sind neu zu verlegen?

Lösung:

1. Schritt:

Vorbemerkung: Dach = Mantel der Pyramide

Berechnung von h_g:

Sechsseitige Pyramide Turmdach berechnen

h_g= a/2 * √3

h_g = 3,2/2 * √3

h_g = 2,8 m

2. Schritt

Berechnung von h_a:

h_a = √ (h² + hg²)

h_a = √ (4,6² + 2,8²)

h_a = 5,4 m

3. Schritt

Berechnung vom Mantel:

M = a * h_a * 3

M = 3,2 * 5,4 * 3

M = 51,84 m²

A: Es sind 51,84 m² Dachfläche neu zu verlegen.

Aufgabe 3: Sechsseitige Pyramide Volumen und Masse

gegeben: sechsseitige Pyramide aus Glas mit a = 2,7 cm und h = 4,9 cm, Dichte 2,5 g/cm³

gesucht: a) Grundfläche b) Volumen c) Masse

Lösung:

a) Berechnung der Grundfläche:

G_f = a² * √3 : 4 * 6 (die Grundfläche besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken)

G_f= 2,7² * √3 : 4 * 6

G_f = 18,94 cm²

A: Die Grundfläche beträgt 18,94 cm²

b) Berechnung des Volumens:

V = G_f* h : 3

V = 18,94 * 4,9 : 3

V = 30,94 cm³

A: Das Volumen beträgt 30,94 cm³

c) Berechnung der Masse:

m = Volumen * Dichte

m = 30,94 * 2,5

m = 77,35 g

A: Das Gewicht der sechsseitigen Glaspyramide beträgt 77,35 g.

Aufgabe 4: Sechsseitige Pyramide Dachfläche mit Verschnitt

Turmdach in Form einer sechsseitigen Pyramide mit a = 4,24 m und h = 6,62 m

Wie viel m² Dachfläche inklusive 15% Verschnitt sind neu einzudecken?

Lösung:

1. Schritt Berechnung von h_g:

Vorbemerkung: Dach = Mantel der Pyramide

Sechsseitige Pyramide Dachfläche mit Verschnitt

h_g= a/₂ * √3

h_g = 4,24/2 * √3

h_g = 3,67 m

2. Schritt: Berechnung von h_a

h_a = √(h² + hg²)

h_a = √(6,62² + 3,67²)

h_a = 7,57 m

3. Schritt: Berechnung vom Mantel

M = a * h_a * 3

M = 4,24 * 7,57 * 3

M = 96,29 m²

:100% – 96,29 m²

*115% – x m²

x = 96,29 * 115 : 100

x = 110,73 m²

A: Es sind 110,73 m² Dachfläche neu zu verlegen.

Aufgabe 5: Sechsseitige Pyramide Volumen und Masse Übung

Sechsseitige Pyramide aus Eichenholz mit a = 3,2 cm und h = 5,5 cm, Dichte 0,9 g/cm³

a) Grundfläche ? b) Volumen ? c) Masse ?

Lösung:

a) Berechnung der Grundfläche:

G_f = a² * √3 : 4 * 6

G_f= 3,2² * √3 : 4 * 6

G_f = 26,60 cm²

A: Die Grundfläche beträgt 26,60 cm²

b) Berechnung des Volumens:

V = G_f* h : 3

V = 26,60 * 5,5 : 3

V = 48,77 cm³

A: Das Volumen beträgt 48,77 cm³

c) Berechnung der Masse:

m = Volumen * Dichte

m = 48,77 * 0,9

m = 43,89 g

A: Das Gewicht der sechsseitigen Pyramide aus Eichenholz beträgt 43,89 g.

Aufgabe 6: Sechsseitige Pyramide Oberfläche Übung 1

gegeben: a = 5,4 m und h = 7,2 m

gesucht: a) Grundfläche ? b) Mantel ? c) Oberfläche ?

Lösung:

a) Berechnung der Grundfläche:

G_f = a² * √3 : 4 * 6

G_f= 5,4² * √3 : 4 * 6

G_f = 75,76 m²

A: Die Grundfläche beträgt 75,76 m²

b) Berechnung des Mantels:

h_g= a/2 * √3

h_g = 5,4/2 * √3

h_g = 4,68 m

h_a = √(h² + hg²

h_a = √(7,2² + 4,68²)

h_a = 8,59 m

M = a * h_a * 3

M = 5,4 * 8,59 * 3

M = 139,16 m²

A: Die Mantelfläche beträgt 139,16 m²

c) Berechnung der Oberfläche:

O = G_f+ M

O = 75,76 + 139,16

O = 214,92 m²

A: Die Oberfläche beträgt 214,92 m²

Aufgabe 7: Sechsseitige Pyramide Höhe h, hg und ha berechnen

Sechsseitige Pyramide: Körperhöhe h = 5,2 cm Außenkante s = 8,6 cm

a) Körperhöhe h = ?

b) Flächenhöhe am Boden h_g = ?

c) Seitenflächenhöhe h_a = ?

Lösung:

a) Berechnung der Grundflächenkante a:

a = √ (s² – h²)

a = √ (8,6² – 5,2²)

a = 6,85 cm

A: Die Grundflächenkante a beträgt 6,85 cm.

b) Berechnung der Grundflächenhöhe hg

h_g= a : 2 * √3

h_g = 6,85 : 2 * √3

h_g = 5,93 cm

A: Die Grundflächenhöhe hg beträgt 5,93 cm.

c) Berechnung der Seitenflächenhöhe ha:

h_a = √ (h² + hg²)

h_a = √ (5,2² + 5,93²)

h_a = 7,89 cm

A: Die Seitenflächenhöhe ha beträgt 7,89 cm.

Aufgabe 8: Sechsseitige Pyramide Höhen berechnen

Sechsseitige Pyramide: Außenkante s = 18 cm Grundflächenkante a = 10 cm

a) Körperhöhe h

b) Flächenhöhe am Boden h_g

c) Seitenflächenhöhe ha

Lösung:

a) Berechnung der Körperhöhe h:

h = √ (s² – a²)

h = √ (18² – 10²)

h = 14,97 cm

A: Die Körperhöhe h beträgt 14,97 cm.

b) Berechnung der Grundflächenhöhe hg

h_g= a : 2 * √3

h_g = 10 : 2 * √3

h_g = 8,66 cm

A: Die Grundflächenhöhe hg beträgt 8,66 cm.

c) Berechnung der Seitenflächenhöhe ha:

h_a = √ (h² + hg²)

h_a = √ (14,97² + 8,66²)

h_a = 17,29 cm

A: Die Seitenflächenhöhe ha beträgt 17,29 cm.

Aufgabe 9: Sechsseitige Pyramide Umkehraufgabe Kantenlänge

Regelmäßige sechsseitige Pyramide bei der sich die Länge der Grundkante a zur Seitenkante s wie 3 : 5 verhält.

Die Gesamtlänge aller Kanten beträgt 120 cm.

a) Grundkante a und Seitenkante s = ?

b) Volumen = ?

Lösung:

a) Wir ermitteln Grundkante a und Seitenkante s:

a : s = 3 : 5 d.f. a = 3t s = 5t

GK = 6 * a + 6 * s

120 = 6 * 3t + 6 * 5t

120 = 18t + 30t

120 = 48t / : 48

t = 2,5

d.f. a = 3 * 2,5 ⇒ a = 7,5 cm

d.f. s = 5 * 2,5 ⇒ s = 12,5 cm

A: Die Grundkante a ist 7,5 cm lang und die Seitenkante s ist 12,5 cm lang.

b) Wir ermitteln das Volumen:

G_f = a² * √3 : 4 * 6 (die Grundfläche besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken)

G_f = 7,5² * √3 : 4 * 6

G_f = 146,14 cm²

h = √ s² – a²

h = √ (12,5² – 7,5²)

h = 10 cm

V = G_f* h : 3

V = 146,14 * 10 : 3

V = 487,13 cm³

A: Das Volumen beträgt 487,13 cm³.

Aufgabe 10: Sechsseitige Pyramide Umkehraufgabe Masse

Sechsseitige Pyramide aus Glas mit einer Höhe von 3,8 cm hat ein Gewicht von 94,2 Gramm, Dichte 2,5 g/cm³

Berechne: a) Volumen b) Grundfläche c) Grundkante a

Lösung:

a) Berechne das Volumen:

Vorbemerkung: Umkehraufgabe

m = Volumen * Dichte

94,2 = Volumen * 2,5 / : 2,5

Volumen = 37,68 cm³

b) Berechne die Grundfläche

Vorbemerkung: Umkehraufgabe

V = G_f* h : 3

37,68 = G_f * 3,8 : 3 / * 3

113,04 = G_f * 3,8 / : 3,8

G_f = 29,75 cm²

A: Die Grundfläche beträgt 29,75 cm².

c) Berechne die Grundkante a:

Vorbemerkung: Umkehraufgabe

G_f = a² * √3 : 4 * 6 (die Grundfläche besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken)

29,75 = a² * √3 : 4 * 6 / : 6

29,75 : 6 = a² * √3 : 4 / * 4

29,75 : 6 * 4 = a² * √3 / : √3

29,75 : 6 * 4 : √3 = a²

11,45… = a² / √

a = 3,4 cm

A: Die Grundkante a hat eine Länge von 3,4 cm.

Aufgabe 11: Sechsseitige Pyramide Umkehraufgaben Übung 1

Regelmäßige sechsseitige Pyramide bei der sich die Länge der Grundkante a zur Seitenkante s wie 4 : 9 verhält.

Die Gesamtlänge aller Kanten beträgt 234 cm.

a) Grundkante a und Seitenkante s = ? b) Volumen = ?

Lösung:

a) Wir ermitteln Grundkante a und Seitenkante s:

a : s = 4 : 9 d.f. a = 4t s = 9t

GK = 6 * a + 6 * s

234 = 6 * 4t + 6 * 9t

234 = 24t + 54t

234 = 78t / : 78

t = 3

d.f. a = 4 * 3 d.f. a = 12 cm

d.f. s = 9 * 3 d.f. s = 27 cm

A: Die Grundkante a ist 12 cm lang und die Seitenkante s ist 27 cm lang.

b) Volumen:

Die Grundfläche besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken

G_f = a² * √3 : 4 * 6

G_f = 12² * √3 : 4 * 6

G_f = 374,12 cm²

h = √ (s² – a²)

h = √ (27² – 12²)

h = 24,19 cm

V = G_f* h : 3

V = 374,12 * 24,19 : 3

V = 3 016,65 cm³

A: Das Volumen beträgt 3 016,65 cm³.

Aufgabe 12: Sechsseitige Pyramide Umkehraufgabe Übung 2

Sechsseitige Pyramide mit einem Mantel von 80,4 cm² und einer Flächenhöhe h_a von 6 cm.

a) Seitenkante a ? b) Körperhöhe h ? c) Volumen

Lösung:

a) Berechnung der Seitenkante a

M = a * h_a * 3

80,4 = a * 6 * 3

80,4 = a * 18 / : 18

a = 4,47 cm

A: Die Seitenkante a beträgt 4,47 cm.

b) Berechnung der Körperhöhe:

Sechsseitige Pyramide Umkehraufgabe Übung 2

h_g= a : 2 * √3

h_g = 4,47 : 2 * √3

h_g = 3,87 cm

h = √(h_a² – hg²)

h = √(6² – 3,87²)

h = 4,59 cm

A: Die Körperhöhe h beträgt 4,59 cm.

c) Berechnung des Volumens:

G_f= a² * √3 : 4 * 6

G_f= 4,47² * √3 : 4 * 6

G_f= 59,91 cm²

V = G_f* h : 3

V = 59,91 * 4,59 : 3

V = 91,66 m³

A: Das Volumen beträgt 91,66 m³.

Aufgabe 13: Sechsseitige Pyramide Umkehraufgabe Grundfläche

Sechsseitige Pyramide mit einer Grundfläche von 140,26 cm² und einer Höhe von 12 cm.

a) Seitenkante a ?

b) Mantel ?

c) Oberfläche ?

Lösung:

a) Berechnung der Seitenkante a:

G_f = a² * √3 : 4 * 6

140,26 = a² * √3 : 4 * 6 / : 6

23,3766… = a² * √3 : 4 / * 4

93,50… = a² * √3 / : √3

53,98… = a² / √

a = 7,35 cm

A: Die Seitenkante a beträgt 7,35 cm.

b) Berechnung des Mantels:

Sechsseitige Pyramide Umkehraufgabe Grundfläche

h_g= a : 2 * √3

h_g = 7,35 : 2 * √3

h_g = 6,37 cm

h_a = √(h² + hg²)

h_a = √(12² + 6,37²)

h_a = 13,59 cm

M = a * h_a * 3

M = 7,35 * 13,59 * 3

M = 299,65 cm²

A: Die Mantelfläche beträgt 299,65 cm²

c) Berechnung der Oberfläche:

O = G_f+ M

O = 140,26 + 299,66

O = 439,92 m²

A: Die Oberfläche beträgt 439,92 m².