Aufgabe 1: Oktaeder Volumen und Oberfläche
Oktaeder: a = 2,5 cm
Berechne :
a) Oberfläche
b) Höhe
c) Volumen
Lösung:
a) Berechnung der Oberfläche:
Oberfläche (O) = 2 *a² * √3
Oberfläche (O) = 2 * 2,5² * √3
Oberfläche (O) = 21,65 cm²
A: Die Oberfläche beträgt 21,65 cm².
b) Berechnung der Höhe (h):
Höhe (h) = a * √2
Höhe (h) = 2,5 * √2
Höhe (h) = 3,5 cm
A: Die Höhe beträgt 3,5 cm.
c) Berechnung des Volumens (V):
Volumen (V) = a³/3 * √2
Volumen (V) = 2,5³/3 * √2
Volumen (V) = 7,37 cm³
A: Das Volumen beträgt 7,37 cm³.
Aufgabe 2: Oktaeder Volumen und Oberfläche 2
gegeben: Oktaeder mit a = 10,2 cm
gesucht: a) Oberfläche (O) ? b) Höhe (h) ? c) Volumen (V) = ?
Lösung:
a) Berechnung der Oberfläche:
Oberfläche (O) = 2 *a² * √3
Oberfläche (O) = 2 * 10,2² * √3
Oberfläche (O) = 360,41 cm²
A: Die Oberfläche beträgt 360,41 cm².
b) Berechnung der Höhe (h):
Höhe (h) = a * √2
Höhe (h) = 10,2 * √2
Höhe (h) = 14,42 cm
A: Die Höhe beträgt 14,42 cm.
c) Berechnung des Volumens (V):
Volumen (V) = a³ : 3 * √2
Volumen (V) = 10,2³ : 3 * √2
Volumen (V) = 500,26 cm³
A: Das Volumen beträgt 500,26 cm³.
Aufgabe 3: Oktaeder Volumen und Masse 1
gegeben: Oktaeder aus Gold mit a = 2,4 cm Dichte von Gold 19,32 g/cm³
gesucht: a) Volumen = ? b) Masse = ?
Lösung:
a) Berechnung des Volumens
V = a³/3 * √2
V = 2,4³ : 3 * √2
V = 6,52 cm³
A: Das Volumen beträgt 6,52 cm³.
b) Berechnung der Masse
Masse = V * Dichte (ρ)
Masse = 6,52 * 19,32
Masse = 125,97 g
A: Der Oktaeder aus Gold hat ein Gewicht von 125,97 g.
Aufgabe 4: Oktaeder Volumen und Masse 2
gegeben: Oktaeder aus Glas mit a = 3,8 cm Dichte von Glas 2,5 g/cm³
gesucht: a) Volumen = ? b) Masse = ?
Lösung:
a) Berechnung des Volumens
V = a³ : 3 * √2
V = 3,8³ : 3 * √2
V = 25,87 cm³
A: Das Volumen beträgt 25,87 cm³.
b) Berechnung der Masse
Masse = V * Dichte (ρ)
Masse = 25,87 * 2,5
Masse = 64,68 g
A: Der Oktaeder aus Glas hat ein Gewicht von 64,68 g.
Aufgabe 5: Oktaeder Umkehraufgabe Oberfläche
gegeben: Oktaeder mit Oberfläche von 420 cm²
gesucht: a) Kantenlänge a = ? b) Volumen (V) = ?
Lösung:
a) Berechnung der Kantenlänge
O = 2 *a² * √3
420 = 2 *a² * √3 / : 2
210 = a² * √3 / : √3
121,24.. = a² / √
a = 11,0 cm
A: Die Kantenlänge a beträgt 11 cm.
b) Berechnung des Volumens (V):
Volumen (V) = a³ : 3 * √2
Volumen (V) = 11³ : 3 * √2
Volumen (V) = 627,44 cm³
A: Das Volumen beträgt 627,44 cm³.
Aufgabe 6: Oktaeder Umkehraufgabe Volumen
gegeben: Oktaeder mit Volumen von 60 cm³
gesucht: a) Kantenlänge a = ? b) Oberfläche (O) = ?
Lösung:
a) Berechnung der Kantenlänge a:
V = a³/3 * √2
60 = a³/3 * √2 / * 3
180 = a³ * √2 / : √2
127,27… = a³ / 3√
a = 5,03 cm
A: Die Kantenlänge a ist 5,03 cm lang.
b) Berechnung der Oberfläche:
O = 2a² * √3
O = 2*5,03² * √3
O = 87,64 cm²
A: Die Oberfläche beträgt 87,64 cm².
Aufgabe 7: Oktaeder Umkehraufgabe Höhe
gegeben: Oktaeder mit h = 6,8 cm
gesucht: a) Kantenlänge a = ? b) Oberfläche (O) = ? c) Volumen (V) = ?
Lösung:
a) Berechnung der Kantenlänge a:
Höhe: h = a * √2
6,8 = a * √2 / : √2
a = 4,81 cm
A: Die Kantenlänge a beträgt 4,81 cm.
b) Berechnung der Oberfläche:
Oberfläche (O) = 2 *a² * √3
Oberfläche (O) = 2 * 4,81² * √3
Oberfläche (O) = 80,15 cm²
A: Die Oberfläche beträgt 80,15 cm².
c) Berechnung des Volumens (V):
Volumen (V) = a³ : 3 * √2
Volumen (V) = 4,81³ : 3 * √2
Volumen (V) = 52,46 cm³
A: Das Volumen beträgt 52,46 cm³.
Aufgabe 8: Oktaeder Umkehraufgabe Oberfläche 2
Oktaeder mit Oberfläche von 40 cm²
a) Kantenlänge a = ?
b) Volumen (V) = ?
c) Masse (m) bei Dichte von 2,5 g/cm³
Lösung:
a) Berechnung der Kantenlänge
O = 2 *a² * √3
40 = 2a² * √3 / : 2
20 = a² * √3 / : √3
11,547… = a² / √
a = 3,40 cm
A: Die Kantenlänge a beträgt 3,40 cm.
b) Berechnung des Volumens (V):
Volumen (V) = a³ : 3 * √2
V = 3,40³ : 3 * √2
Volumen (V) = 18,53 cm³
A: Das Volumen beträgt 18,53 cm³.
c) Berechnung der Masse (m):
Masse (m) = V * Dichte
Masse (m) = 18,53 * 2,5
Masse (m) = 46,33 g
A: Die Masse beträgt 46,33g.
Aufgabe 9: Oktaeder Herleitung der Formeln
Leite die folgenden Formeln des Oktaeders her:
a) Oberfläche (O) ? b) Höhe (h) c) Volumen (V) = ?
Lösung:
a) Herleitung der Oberfläche:
1. Die Oberfläche besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken
Oberfläche (O) = 8 * a² * √3
4
2. Wir kürzen Zähler und Nenner durch 4
O = 8 * a² * √3
4
3. Formel:
O = 2 * a² * √3
b) Herleitung der Höhe
1. Vorbemerkung:
Die Schnittfläche eines Oktaeders ist ein Quadrat.
Deshalb ist die Höhe des Oktaeders identisch mit der Diagonale eines Quadrats:
h = d = a * √2
2. Formel:
h = a * √2
c) Herleitung des Volumens (V):
1. Vorgegebene Grundformel für das Volumen
V = Gf * h
3
2. Bekannte Teilformeln:
Gf = a²
h = a * √2*
Anmerkung:
Würde die Formel zuerst mit einer Pyramide berechnet, dann wäre die h = a * √2 : 2
Weil wir aber zwei Pyramiden haben h = a * √2 : 2 * 2
d.f. h = a * √2
3. Wir setzen die Teilformen für Gf und h in die Grundformel V ein:
V = a² * a * √2
3
4. Wir fassen zusammen = Formel:
V = a³ * √2
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