Aufgabe: Gleichung der Kugel Koordinatenform Übung 2
4x² + 4y² + 4z² – 8x + 16y + 24z = 64
Ermittle die Gleichung der Kugel in Koordinatenform, den Mittelpunkt M und den Radius r!
Lösung: Gleichung der Kugel Koordinatenform Übung 2
Vorbemerkung: Wir wählen die Methode des Ergänzens auf vollständige Quadrate.
4x² + 4y² + 4z² – 8x + 16y + 24z = 64 / : 4
x² + y² + z² – 2x + 4y + 6z = 16
x² – 2x + y² + 4y + z² + 6z = 16
x² – 2x + 1 + y² + 4y + 4 + z² + 6z + 9 = 16 + 1 + 4 + 9
Wir fassen zusammen:
x² – 2x + 1 + y² + 4y + 4 + z² + 6z + 9 = 30
Wir stellen die binomischen Formeln auf:
x² – 2x + 1 → (x – 1)²
y² + 4y + 4 → (y + 2)²
z² + 6z + 9 → (z + 3)²
Gleichung der Kugel in Koordinatenform:
(x – 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 30
d.f. M (+ 1/- 2/- 3); r = √30