Aufgabe: Gleichung der Kugel Koordinatenform Übung 1
Ermittle die Gleichung der Kugel in Koordinatenform, den Mittelpunkt M und den Radius r!
x² + y² + 4x + 2y – 6z – 84 = 0
Lösung: Gleichung der Kugel Koordinatenform Übung 1
Vorbemerkung: Wir wählen die Methode des Ergänzens auf vollständige Quadrate.
x² + y² + 4x + 2y – 6z – 84 = 0 /+ 84
Variablen auf der linken Seite ordnen und die Zahl auf die rechte Seite umformen:
x² + 4x + y² + 2y + z² – 6z = 84
Methode des quadratischen Ergänzens für jede Variable:
x² + 4x + 4 + y² + 2y + 1 + z² – 6z + 9 = 84 + 4 + 1 + 9
Wir fassen zusammen:
x² + 4x + 4 + y² + 2y + 1 + z² – 6z + 9 = 98
Wir bestimmen die binomischen Formeln:
x² + 4x + 4 → (x + 2)²
y² + 2y + 1 → (y + 1)²
z² – 6z + 9 → (z – 3)²
Gleichung der Kugel in Koordinatenform:
(x + 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 98
Mittelpunkt (M) und Radius (r):
M (- 2/- 1/+ 3); r = √98