Aufgabe: Gleichung der Hyperbel 1. Hauptlage Übung 2
Hyperbel in erster Hauptlage hyp: x² – 25y² = 225
gesucht: a, b, Scheitelpunkte, Brennpunkte und Asymptoten.
Lösung: Gleichung der Hyperbel 1. Hauptlage Übung 2
Berechnung von a und b:
Da das Produkt von 1 * 25 = 25 ergibt und nicht 225, muss für die Bestimmung von a und b, die Hyperbelgleichung in die Form:
hyp: x² – y² = 1 gebracht werden.
a² b²
x² – 25y² = 225 / : 225
x² – 25y² = 1
225 225
Wir kürzen den 2. Bruch durch 25!
x² – y² = 1
225 9
⇒ a² = √225 ⇒ a = 15
⇒ b² = √9 ⇒ b = 3
Scheitelpunkte:
A (-a/0), B (a/0), C (0/b), D (0/-b)
A (-15/0), B (+15/0), C (0/3), D (0/-3)
Brennpunkte:
e² = a² + b²
e = √(15² + 3²)
e = ± √234 (nur + √234 kann eine Lösung sein)
⇒ F1 (-e/0), F2 (e/0),
⇒ F1 (-√234/0), F2 (√234/0)
Asymptoten:
asy1,2: y = ± b/a * x
asy1,2: y = ± 3/15 * x / Wir kürzen durch 3!
asy1,2: y = ± 1/5 * x