Aufgabe: Ellipse Sekante, Passante, Tangente Übung 3:
gegeben: Ellipse in zweiter Hauptlage mit a = 4, b = 3
gesucht: Gleichung der Ellipse, Lagebeziehung zur Geraden g: – x + y = 5
Lösung: Ellipse Sekante, Passante, Tangente Übung 3
1. Ellipsengleichung der 2. Hauptlage:
a²x² + b²y² = a²b²
16x² + 9y² = 4² * 3²
16x² + 9y² = 144
2. ell ∩ g
Dazu formen wir die Gerade g um:
– x + y = 5 / + x
y = (x + 5)
16x² + 9 * (x + 5)² = 144
16x² + 9 * (x² + 10x + 25) = 144
16x² + 9x² + 90x + 225 = 144 / – 144
25x² + 90x + 81 = 0 / : 25
x² + 3,6x + 3,24 = 0
3. pq-Formel:
x1,2 = – 1,8 ± √(1,8² – 3,24)
x1,2 = – 1,8 ± √(3,24 – 3,24)
x1,2 = – 1,8 ± √0
x1,2 = – 1,8
y = x + 5
y = -1,8 + 5
y = +3,2
T (-1,8/+3,2)
⇒ ell ∩ g = {T }
Die Gerade ist eine Tangente.