Aufgabe: Ellipse Sekante, Passante, Tangente Übung 2
gegeben: Ellipse in erster Hauptlage mit a = 2, b = 1
gesucht: Gleichung der Ellipse, Lagebeziehung zur Geraden g: x + y = 1
Lösung: Ellipse Sekante, Passante, Tangente Übung 2
1. Ellipsengleichung der 1. Hauptlage:
b²x² + a²y² = a²b²
x² + 4y² = 1² * 2²
x² + 4y² = 4
2. ell ∩ g
Dazu formen wir die Gerade g um:
x + y = 1 / – x
y = (-x + 1) ⇒ y² = (-x + 1)² ⇒ y² = (x² – 2x + 1)
x² + 4 * (x² – 2x + 1) = 4
x² + 4x² – 8x + 4 = 4 / – 4
5x² – 8x = 0
3. Zerlegung in zwei Gleichungen durch Herausheben:
5x² – 8x = 0
x * (5x – 8) = 0
1. Gleichung:
x = 0
y = – x + 1
y = 0 + 1
y = 1
S1 (0/1)
2. Gleichung:
5x – 8 = 0 / + 8
5x = 8 / : 5
x = 1,6
y = – x + 1
y = -1,6 + 1
y = -0,6
S2 (1,6/-0,6)
⇒ ell ∩ g = {S1, S2 }
Die Gerade ist eine Sekante.