Aufgabe: Ellipse Sekante, Passante, Tangente Übung 1
gegeben: Ellipse in erster Hauptlage mit a = 4, b = 3
gesucht: Gleichung der Ellipse, Lagebeziehung zur Geraden g: x – 4y = 20
Lösung: Ellipse Sekante, Passante, Tangente Übung 1
1. Ellipsengleichung der 1. Hauptlage:
b²x² + a²y² = a²b²
9x² + 16y² = 4² * 3²
9x² + 16y² = 144
2. ell ∩ g
Dazu formen wir die gerade g um:
x – 4y = 20 / + 3y – 20
4y = (x – 20) ⇒ y² = (x- 20)²
9x² + 16y² = 144
9x² + 16 * (x – 20)² = 144
9x² + 16x² + 640x + 6 400 = 144 / – 144
25x² + 640x + 6 256 = 0 / : 25
x² + 25,6x + 250,24 = 0
3. Lösungsformel pq-Formel:
p = 25,6 und q = 250,24
x1,2 = – 12,8 ± √(12,8² – 250,24)
x1,2 = – 12,8 ± √(163,84 – 250,24)
x1,2 = – 12,8 ± √(- 86,4)
x1,2 = keine Lösung in ℝ
⇒ ell ∩ g = { }
Die Gerade ist eine Passante.