Komplexe Zahlen – imaginäre Einheit i:
Hier erhältst du einen Überblick zum Thema: Komplexe Zahlen – imaginäre Einheit i
Komplexe Zahlen stellen eine Erweiterung des Zahlenraums dar.
Schauen wir uns das genauer an.
Bisher brachte die Gleichung x² = – 1 keine Lösung für ℝ.
Mithilfe der Einführung einer imaginären Einheit i ändert sich das.
Mit ihrer Hilfe sind Gleichungen mit Negativzahlen unter der Wurzel lösbar.
Zusammensetzung komplexer Zahlen:
Menge der komplexen Zahlen: 
(a, b ∈ ℝ)
Erklärung:
k = komplexe Zahl
a = Realteil der komplexen Zahl
b • i = Imaginärteil der komplexen Zahl
Beispiel für eine komplexe Zahl:
Umrechnungstabelle:
Addieren und Subtrahieren:
Bei der Addition bzw. Subtraktion von komplexen Zahlen werden die Realteile und Imaginärteile getrennt voneinander addiert bzw. subtrahiert.
z.B. – 2 + 4i und + 4 – 3i
Addition:
– 2 + 4i + (4 – 3i) =
– 2 + 4i + 4 – 3i =
+ 2 + i
Subtraktion:
– 2 + 4i – (4 – 3i) =
– 2 + 4i – 4 + 3i =
– 6 + 7i
Multiplikation von komplexen Zahlen:
Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen werden diese wie Binome multipliziert.
z.B. – 2 + 4i und + 4 – 3i
Multiplikation:
(- 2 + 4i) • (+ 4 – 3i) =
– 8 + 16i + 6i – 12i² =
– 8 + 22i – 12i² =
– 8 + 22i – 12 • (– 1) = Anmerkung i² = – 1
– 8 + 22i +12 =
+ 4 + 22i
Division von komplexen Zahlen:
Bei der Division von komplexen Zahlen werden diese als Bruch angeschrieben und der Nenner wird rational gemacht.
z.B. – 2 + 4i und + 4 – 3i
Division:
Potenzieren mit komplexen Zahlen:
Hier wenden wir die binomischen Formeln an!
(- 2 + 4i)² =
4 – 16i + 16i² = i² = – 1
4 – 16i + 16 • (-1) =
4 – 16i – 16 =
– 12 – 16i
Hier erhältst du noch weitere Informationen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl
PDF-Dokumente zum Ausdrucken:
- Komplexe Zahlen Zusammenfassung
- Komplexe Zahlen Grundrechnungsarten
- Komplexe Zahlen Übungsblatt Überblick
- Komplexe Zahlen Aufgabenblatt