Aufgabe: Vektoren dreiseitiges Prisma O und V
Gegeben: Ein gerades dreiseitiges Prisma hat die Grundfläche ABC [A(0/0/0), B (12/8/24), C (-18/9/6)] und die Höhe h = 7.
a) Zeige, dass ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist!
b) Berechne die Koordinaten der Eckpunkte der Deckfläche DEF (ZD > 0)
c) Berechne das Volumen
d) Berechne die Oberfläche
Lösung:
a) Zeige, dass ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist!
1. Schritt: Wir ermitteln die Vektoren vAB und vAC
vAB = (12/8/24) – (0/0/0) d.f. (12/8/24)
vAC = (-18/9/6) – (0/0/0) d.f. (-18/9/6)
2. Schritt: Wir multiplizieren die beiden Vektoren
(12/8/24) • (-18/9/6) = -216 + 72 + 144 = 0
Die Vektoren stehen im rechten Winkel aufeinander!
A: Die Multiplikation beider Vektoren ergibt 0, daher stehen sie im rechten Winkel aufeinander!
b) Berechne die Koordinaten der Eckpunkte der Deckfläche DEF (ZD > 0)
1. Schritt: Wir ermitteln mit den Vektoren vAB und vAC den (gekürzten) Normalvektor!
vAB = (12/8/24) vAC = (-18/9/6)
Kreuzprodukt:
(12/8/24) • (-18/9/6)
d.f. vn (-168/+504/252)
Wir kürzen durch 168!
d.f. vn = (-1/+3/1,5)
2. Schritt: Wir ermitteln den Betrag des Normalvektors:
|vn| = √((-1)² + (+3)² + 1,5²)
|vn| = 3,5
Anmerkung: Da die Höhe ein Vielfaches des Betrages des Normalvektors darstellt müssen wir 3,5 mit 2 erweitern, um 7 zu erhalten. Dadurch werden sämtliche Koordinaten verdoppelt!
2 • (-1/3/1,5) d.f. (-2/6/3)
3. Schritt: Wir addieren den erweiterten Normalvektor zu den Koordinaten der Grundfläche und erhalten D, E, F
D = A + 2 • vn d.f. D = (0/0/0) + (-2/6/3) d.f. D = (-2/6/3)
E = B + 2 • vn d.f. E = (12/8/24) + (-2/6/3) d.f. E = (10/14/27)
F = C + 2 • vn d.f. F = (-18/9/6) + (-2/6/3) d.f. F = (-20/15/9)
c) Berechne das Volumen:
1. Schritt: Wir berechnen die Grundfläche:
Wir verwenden den ungekürzten Normalvektor der Grundfläche:
|vn|= √(168² + 504² + 252²)
|vn|= 588
Da es sich um ein Dreieck handelt halbieren wir diesen:
Gf = 588 : 2
Gf = 294 FE
2. Schritt: Wir berechnen das Volumen
Die Höhe entnehmen wir der Angabe:
V = Gf • h
V = 294 • 7
V = 2 058 VE
d) Berechne die Oberfläche:
1. Schritt: Wir berechnen eine Seitenfläche:
vAB (12/8/24) siehe oben!
vAD (-2/-6/3) – (0/0/0) d.f. (-2/-6/3)
Kreuzprodukt: (12/8/24) x (-2/-6/3)
d.f. vn = (168/84/56)
Betrag des Normalvektors:
Wir verwenden den ungekürzten Normalvektor der Grundfläche:
|vn|= √(168² + (84)² + 56²)
d.f. SF = 196 FE
2. Schritt: Oberflächenberechnung:
O = 2 • Gf + M
O = 2 • Gf + 3 * SF
O = 2 • 294 + 3 * 196
O = 1 176 FE