Aufgabe: Berührbedingung Kreis normale Tangenten
An den Kreis k: x² + y² + 6x – 10y – 16 = 0 sollen Tangenten gelegt werden, die normal zur Geraden g: x – y + 6 = 0 verlaufen.
Lösung: Berührbedingung Kreis normale Tangenten
1. Schritt: Wir definieren x, y und r vom Kreis
x² + 3x + 9 + y² – 10y + 25 = 16 + 9 + 25
(x + 3)² + (y – 5)² = 50
d.f. M (- 3/5), r = √50
2. Schritt: Wir definieren k von der Geraden
Vorbemerkung:
Die normalen Tangenten t1, t2 haben den normalen Anstieg zur gegebenen Geraden.
Sie unterscheiden sich aber im Wert für d, diese Werte berechnen wir mit Hilfe der Berührbedingung.
Gerade: 2x – y + 6 = 0 / + y
y = x + 6
d.f. kn = – 1
3. Schritt: Berührbedingung zur Berechnung von d:
(xM * k – yM + d)² = r² * (k² + 1)
[(- 3) * – 1 – 5 + d]² = 50 * [(- 1)² + 1)]
(3 – 5 + d)² = 50 * 2
(- 2 + d)² = 100 / √
– 2 + d = +/- 10 / + 2
d1 = – 8 oder d2 = 12
4. Schritt: Wir stellen die Tangenten auf:
t1: y = – x – 8
t2: y = – x + 12