Aufgabe: Kosten-, Erlös-, und Gewinnfunktion Übung 3
Ein Betrieb hat folgenden Funktionen:
Kostenfunktion: K (x) = 3x + 11,5 Nachfragefunktion p (x) = -0,5x + 15
a) Erlösfunktion?
b) Gewinnfunktion?
c) Grenzen der Gewinnzone?
d) Wie groß ist der Gewinn, wenn der Erlös am größten ist?
e) Wo liegt das Gewinnmaximum?
Lösung: Kosten-, Erlös-, und Gewinnfunktion Übung 3
a) Erlösfunktion:
E (x) = x * p (x)
E (x) = x * (-0,5x + 15)
E (x) = -0,5x² + 15x
b) Gewinnfunktion:
G (x) = E (x) – K (x)
G (x) = -0,5x² + 15x – (3x + 11,5)
G (x) = -0,5x² + 15x – 3x – 11,5
G (x) = -0,5x² + 12x – 11,5
c) Grenzen der Gewinnzonen:
G (x) = – 0,5x² + 12x – 11,5 → Wir bestimmen die Nullstellen
0 = – 0,5x² + 12x – 11,5 / : (- 0,5)
0 = x² – 24x + 23 / Vieta
d.f. p = – 24 und q = + 23
x1,2 = -p/2 ± √ (p/2)² – q
x1,2 = + 12 ± √ (12)² – 23
x1,2 = + 12 ± √ (144 – 23)
x1,2 = + 12 ± √121
d.f. x1 = + 12 – 11 = 1
d.f. x2 = + 12 + 11 = 23
A: Die Grenzen der Gewinnzone liegen zwischen x = 1 ∨ x = 23.
d) Gewinn, wenn der Umsatz am größten ist:
Wird berechnet mit der 1. Ableitung von E → E´
E (x) = -0,5x² + 15x
E´ (x) = – x + 15
0 = – x + 15 / + x
x = 15
Der Wert wird in die Gewinnfunktion eingesetzt:
G (15) = -0,5x² + 12x – 11,5
G (15) = 56 GE
A: Wenn der Umsatz am höchsten ist, liegt der Gewinn bei 56 Geldeinheiten.
e) Gewinnmaximum
Wird berechnet mit der 1. Ableitung von G → G´
G (x) = -0,5x² + 12x – 11,5
G´ (x) = – x + 12
0 = – x + 12 / + x
x = 12
A: Das Gewinnmaximum liegt bei 12 Produktionseinheiten.
G (12) = -0,5x² + 12x – 11,5
G (12) = 60,5 Geldeinheiten
A: Der maximale Gewinn liegt bei 60,5 Geldeinheiten.