Aufgabe: Komplexe Zahlen potenzieren Übung 1
Potenziere folgende komplexe Zahl:
Berechne k² und k³ von (-2 + 5i)
Lösung:
a) Berechne (- 2 + 5i)²
a² – 2ab + b² (2. Binomische Formel)
(-2)² – 2 * 2 * 5i + 25i²
4 – 20i + 25 * (- 1) da i² = – 1
4 – 20i – 25
– 21 – 20i
b) Berechne (-2 + 5i)³
1. Möglichkeit: Wir multiplizieren das Ergebnis von a) mit (- 2 + 5i)
(-2 + 5i)² * (- 2 + 5i) =
(- 21 – 20i) * (- 2 + 5i) =
+ 42 + 40i – 105i – 100i² =
+ 42 – 65i – 100 * (- 1) = da i² = – 1
+ 42 – 65i + 100 =
+ 142 – 65i
2. Möglichkeit Wir verwenden die 3. Binomische Formel:
(- 2 + 5i)³ =
– a³ + 3a²b – 3ab² + b³ =
(- 2)³ + 3 * (- 2)² * 5i + 3 * (- 2) * (5i)² + (5i)³ =
– 8 + 60i – 150i² + 125i³ =
– 8 + 60i – 150 * (- 1) + 125 * (- i)
Anmerkung: i² = – 1 und i³ = – i
– 8 + 60i + 150 – 125i
+ 142 – 65i