Aufgabe: Volumensrotation Paraboloid Trinkglas
Der Innenraum eines Trinkglases hat die Form eines Paraboloids mit einem Innendurchmesser von 12 cm und einer Höhe von 14 cm.
a) Welches Volumen V hat das Trinkglas?
b) Bis zu welcher Höhe füllt 1/2 Liter dieses Trinkglas?
Lösung: Volumensrotation Paraboloid Trinkglas
1. Schritt: Wir stellen eine Parabelgleichung auf
Parabel (par): y = ax²
Wir setzen den Punkt P in die Gleichung ein.
14 = 36a / : 36
a = 7/18 cm
par: y = 7x²/18 / * 18 / : 7
d.f. x² = 18y/7
2. Schritt: Volumensberechnung
Die obere Begrenzung des bestimmten Intervalls ist die Höhe des Trinkglases (14 cm).
Vy = π * 9 * 14²/7 – 0
V = 252π
A: Das Volumen der Schale beträgt 252π VE.
3. Schritt: Wir berechnen die Höhe des Wasserstandes
Die Hälfte eines Liters (1 dm³) sind 500 cm³.
Formel:
Wir integrieren (siehe auch Volumensberechnung)
500 = π * (9y²/7) [h; 0}
Wir setzen h und 0 ein:
500 = π * [(9 * h² / 7) – (0)]
500 = π * (9 * h² / 7) / * 7 : 9