Aufgabe: Volumensrotation Paraboloid Gefäß
Die Parabel par: y = ax² + b geht durch den Ursprung und den Punkt P (2/2).
Die Kurve rotiert in den Grenzen x1 = 0 und x2 = 2 um die y-Achse.
Das Gefäß wird mit Wasser gefüllt.
Wie hoch steht das Wasser, wenn man die Hälfte der Flüssigkeit ausleert?
Lösung: Volumensrotation Paraboloid Gefäß
1. Schritt: Wir stellen eine Parabelgleichung auf
Parabel (par): y = ax² + b P1 (0/0) und P2 (2/2)
Wir setzen den Punkt P1 in die Gleichung ein:
0 = b
Wir setzen den Punkt P2 in die Gleichung ein:
2 = a * 4 / : 4
a = 1/2
d.f. y = 1/2 *x² / : 1/2
x² = 2y (da Rotation um die y-Achse)
2. Schritt: Volumensberechnung
Die obere Begrenzung des bestimmten Intervalls ist die Höhe der Schale (2 cm).
Vy = π * (2² – 0)
Vy = 4*π
A: Das Volumen der Schale beträgt 4*π VE.
3. Schritt: Wir berechnen die Höhe des Wasserstandes
Die Hälfte des Volumens sind 2*π
