Definition: Wendepunkte
Bei den Wendepunkten ändert die Funktion ihr Krümmungsverhalten.
Und zwar von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung (siehe Abbildung), oder von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung.
Berechnung/Bestimmung:
1. Berechnung der 2. Ableitung f´´(x)
2. Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen mit f´´ (x) = 0 ergibt Lösungen xi
3. Berechnung der 3. Ableitung f´´´ (x)
4. Bestimmung ob Wendepunkt
Nullstellen der 2. Ableitung (xi) werden in die 3. Ableitung eingesetzt
Bei f´´´(xi) ≠ 0 handelt es sich um Wendepunkte
Bei f´´´(xi) = 0 handelt es sich um Wendepunkte, wenn sich bei f´´an der Stelle xi das Vorzeichen ändert
5. Berechnung der y-Koordinate: Der xi-Wert wird in die Grundfunktion f (x) eingesetzt.
Beispiel:
Berechne von folgender Funktion die Wendepunkte
f (x) = – 1/4x³ + 3/2x²
1. Schritt: Ableitungen
f´(x) = – 3/4x² + 3x
f´´ (x) = – 1,5x + 3
2. Schritt: x-Koordinate des Wendepunkts
0 = – 1,5x + 3 / + 1,5x
1,5x = 3 / : 1,5
xw = 2
3. Schritt: y-Koordinate des Wendepunkts
Die x-Koordinate des Wendepunkts wird in die Grundfunktion eingesetzt:
f (2) = – 1/4 * 2³ + 3/2 * 2²
f (2) = – 1/4 * 8 + 3/2 * 4
f (2) = – 2 + 6
f (2) = 4
d.f. Wendepunkt (2/4)