Definition: Zerfallsfunktion
Zerfallsfunktionen bilden exponentielle Abnahmeprozesse ab und werden meist mit folgender Formel abgebildet.
Graphische Darstellung:
Nachstehend ist folgende Funktion abgebildet: f (x) = 5 • 0,5x
Zerfallsfunktionen haben folgende Eigenschaften:
Aus der obigen graphischen Darstellung mit der Funktion f (x) = 5 • 0,5x lassen sich folgende allgemeingültige Aussagen für eine Zerfallsfunktion ableiten:
Sämtliche Funktionswerte sind positiv (liegen oberhalb der x-Achse).
Für 0 < a < 1 ist die Funktion streng monoton fallend (Abnahmefunktion)
Wird das Argument um 1 vergrößert, dann ändert sich der Funktionswert mit dem Faktor a:
f (x + 1) = f (x) • a
Bei 0 < a < 1 nimmt f (x) mit wachsendem x immer schwächer ab
Halbwertszeit:
Die Halbwertszeit ist ein wichtiger Parameter für die Berechnung von Zerfallsfunktionen, da ihre Anwendung es ermöglicht, eine Variable der Abnahmefunktion zu eliminieren (Nt).
Der Zeitwert Nt wird definiert mit 0,5 • N0 (Halbierung des Ausgangswertes).
0,5 • N0 = N0 • a t / : N0
d.f. 0,5 = a t
Beispiel:
Ein radioaktives Element zerfällt mit der Halbwertszeit von 80 Tagen.
a) Wie lautet die Zerfallsfunktion?
b) Nach wie vielen Tagen sind noch 20% des radioaktiven Elements vorhanden?
Lösung:
a) Zerfallsfunktion:
Ausgangswert: N0
Zeitwert: Nt = 0,5 • N0 (Halbierung des Ausgangswertes)
Zeitdauer der Halbierung: t = 80 Tagen
Maß für das Abnahme: a = ?
Nt = N0 • at
b) t für 20% des Ausgangswertes
Ausgangswert: N0
Zeitwert: Nt = 0,2 • N0 (20% = 0,2)
Zeitdauer: t = ? Tage
Maß für den Zerfall: a = 0,991 373 087…