Aufgabe 2: Unendliche geometrische Reihe Beispiel 2
Eine Spirale entsteht durch unendliches oftmaliges Aneinanderfügen von Halbkreisen, wobei ab dem 2. Durchmesser jeder Durchmesser 3/5 des vorangegangenen Durchmessers ausmacht.
Wie groß ist die Gesamtlänge der Spirale, wenn der erste Durchmesser 12 cm beträgt.
Lösung: Unendliche geometrische Reihe Beispiel 2
Definition von b1 und q:
Die Länge eines halben Kreisbogens ist r • π
Daraus folgt bei Durchmesser 12 cm → r = 6 cm (12 cm : 2)
Länge des 1. Halbkreises: 6 • π
Länge des 2. Halbkreises: 6 • π • 3/5
Länge des 3. Halbkreises: 6 • π • (3/5)²
Gesamtlänge der Wellenlinie: S = 6π + 6π • 3/5 + 6π • (3/5)² ….
b1 = 6π und q = 3/5
Formel:
S = b1 • 1
1 – q
S = 6π • 1
1 – 3/5
S = 15π = 47,12
A: Die gesamte Spirale hat eine Länge von 47,12 cm.