Aufgabe: Unendliche geometrische Reihe Beispiel 1
Eine Wellenlinie entsteht durch unendliches oftmaliges Aneinanderfügen von Halbkreisen, wobei ab dem 2. Halbkreis jeder Halbkreisdurchmesser 1/2 des vorangegangenen Durchmessers ausmacht.
Wie lang ist die gesamte Wellenlinie, wenn der erste Durchmesser 8 cm beträgt.
Lösung: Unendliche geometrische Reihe Beispiel 1
Definition von b1 und q:
Die Länge eines halben Kreisbogens ist r • π
Daraus folgt bei Durchmesser 8 cm → r = 4 cm (8 cm : 2)
Länge des 1. Halbkreises: 4 • π
Länge des 2. Halbkreises: 4 • π • 1/2
Länge des 3. Halbkreises: 4 • π • (1/2)²
Gesamtlänge der Wellenlinie: S = 4π + 4π • 1/2 + 4π • (1/2)² ….
b1 = 4π und q = 1/2
Formel:
S = b1 • 1
1 – q
S = 4π • 1
1 – 1/2
S = 8π = 25,13
A: Die gesamte Wellenlinie hat eine Länge von 25,13 cm.