Aufgabe: Geometrische Folge Zahlenrätsel Textaufgabe Übung 2
Die Summe der drei Glieder einer geometrischen Folge ist 19, ihr Produkt ist 216.
Wie lautet die Folge (b1, b2, b3 = ?), die mit der kleinsten Zahl beginnt?
Lösung: Geometrische Folge Zahlenrätsel Textaufgabe Übung 2
1. Schritt: Wir definieren b1, b2, und b3
b1
b2 = b1 * q
b3 = b1 * q²
2. Schritt: Wir stellen die Gleichungen auf
I. b1 + b2 + b3 = 19
II. b1 * b2 * b3 = 216
3. Schritt: Wir ermitteln durch Umformung q
b1 * b1*q * b1*q² = 216 (ausmultiplizieren)
b1³*q³ = 216 / ³√
b1* q = 6
q = 6/b1
4. Schritt: Berechnung von b2
Da für q auch folgende allgemeine Formel gilt:
q = b2/b1
können wir im Gleichsetzungsverfahren Folgendes aufstellen:
6/b1 = b2/b1 / * b1
b2 = 6
5. Schritt: Wir bestimmen b3
Wir setzen die Teillösung b2 = 6 in die I. Gleichung ein!
b1 + 6 + b3 = 19 / – 6 – b1
b3 = 13 – b1
6. Schritt: Wir bestimmen b1, b3
b2 =√b1 * b3
6 = √b1 * (13 – b1) / ²
36 = 13b1 – b1² / + b² – 13b1
b1² – 13b1 + 36 Vieta
Kleine Lösungsformel Vieta
b1 = +6,5 – 2,5 = +4
b2 = +6,5 + 2,5 = + 9
+ 6,5 +/- √(6,5² – 36)
+ 6,5 +/- 2,5
b1 = 4 (Lösung) oder b2 = 9 (keine Lösung laut Angabe)
q1 = b2/b1 → q1 = 6/4 → q1 = 1,5
b2 = 4 * 1,5 = 6
b3 = 4 * 1,5² = 9
Geometrische Folge: 〈4, 6, 9〉