Aufgabe: Geometrische Folge Textaufgabe Pythagoras 1
In einem rechtwinkligen Dreieck bilden die Seitenlängen eine geometrische Folge.
Berechnen Sie die Seitenlängen, wenn die kürzere Kathete 20 cm lang ist.
Lösung: Geometrische Folge Textaufgabe Pythagoras 1
1. Bildung einer geometrischen Folge:
Strecke BC = b1 = 20 (kürzere Kathete)
Strecke CA = b2 = 20 * q (längere Kathete)
Strecke AB = b3 = 20 * q² (Hypotenuse)
〈b1; b2; b3〉
2. Pythagoreischer Lehrsatz:
20² + (20*q)² = (20*q²)²
20² + 20² *q² = 20² *q4 / : 20²
1 + q² = q4 / – q² – 1
q4 – q² – 1 = 0
3. Anwendung der Substitutionsmethode:
q4 – q² – 1 = 0
Substituiton u = q²
d.f. u² – u – 1 = 0 / Vieta
Kleine Lösungsformel Vieta
4. Lösungsmenge bestimmen
u1 = 0,5 – 1,118…. = – 0,618 ⇒ keine Lösung
u2 = 0,5 + 1,118 = + 1,618….
5. Rückführung der Substitution:
u = q²
⇒ q = √u
⇒ q = √1,618….
⇒ q = +/- 1,272…
nur q mit + 1,272… ist eine brauchbare Lösung!
6. Berechnung der Seitenlängen:
⇒ b1 = 20 cm
⇒ b2 = b1 * q = 20 * 1,272… = 25,44 cm
⇒ b3 = b1 * q² = 20 * 1,272..² = 32,36 cm
A: Die Seitenlängen sind 20 cm, 25,44 cm und 32,36 cm lang.