Definition: Arithmetische Folgen
Eine Zahlenfolge an heißt arithmetische Folge, wenn die Differenz von je zwei aufeinander folgender Glieder konstant ist.
Differenz der arithmetischen Folge:
Die Konstante k heißt Differenz der arithmetischen Folge.
k = an + 1 - an
Es gilt:
k = Differenz zwischen zwei arithmetischen Folgen
an = beliebige arithmetische Folge
an + 1 = nächsthöhere arithmetische Folge
Formel:
Die Formel für die Berechnung des n-ten Gliedes lautet:
an = a0 + n • k
Es gilt:
an = gesuchte arithmetische Folge
a0 = Ausgangswert
n = Glied der arithmetischen Folge
k = Differenz zwischen zwei arithmetischen Folgen
Termdarstellung:
Die Termdarstellung einer arithmetischen Folge lautet:
an = k • n + d (k und d ∈ ℝ)
Es gilt:
an = gesuchte arithmetische Folge
k = Konstante k ist die Differenz der arithmetischen Folgen
n = Anzahl der Glieder einer arithmetischen Reihe
d = Ausgangswert
Eine arithmetische Folge kann daher als eine lineare Funktion definiert werden, deren Grundmenge ℕ ist.
Ist k = 0 spricht man von einer konstanten arithmetischen Folge.
Eigenschaften:
a) wenn d > 0 dann ist die arithmetische Folge:
nach unten beschränkt und oben unbeschränkt sowie streng monoton steigend
b) wenn d < 0 dann ist die arithmetische Folge:
nach unten unbeschränkt und oben beschränkt sowie streng monoton fallend
c) wenn d = 0 dann ist die arithmetische Folge:
nach unten und oben beschränkt sowie konstant
Beispiel:
a0 = 5 und k = 3
Berechne a11 und a26
Lösung:
an = a0 + n * k
a11 = 5 + 11 * 3
a11 = 38
A: Das 11. Glied dieser arithmetischen Folge ist 38.
an = a0 + n * k
a26 = 5 + 26 * 3
a26 = 83
A: Das 26. Glied dieser arithmetischen Folge ist 83.
Arithmetisches Mittel:
In jeder arithmetischen Folge gilt ab dem zweiten Glied:
Formel:
an = (an-1 + an+1) : 2
Beispiel:
a1 = 5 und a3 = 11
a2 = (5 + 11) : 2
a2 = 8
Tests:
Arithmetische Folge bestimmen Test 1
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