Aufgabe: Gleichungen mit binomischen Formeln Übung 1
(2x + 3)² = (3x – 4) • (3x + 4) – 5x² + 1
Grundmenge = ℤ (Ganze Zahlen)
Lösung: Gleichungen mit binomischen Formeln Übung 1
1. Schritt: Wir benennen und berechnen die binomischen Formeln
(2x + 3)² = (3x – 4) • (3x + 4) – 5x² + 1
1. binomische Formel = 3. binomische Formel – 5x² + 1
4x² + 12x + 9 = 9x² – 16 – 5x² + 1
2. Schritt: Wir fassen pro Seite zusammen
4x² + 12x + 9 = 4x² -15
3. Schritt: Äquivalenzumformungen
Wir kürzen x²
4x² + 12x + 9 = 4x² – 15 / – 4x²
4x² – 4x² + 12x + 9 = 4x² – 4x² – 15
+ 12x + 9 = – 15
Die Zahl neben dem x muss weg
12x + 9 = – 15 / – 9
12x + 9 – 9 = – 15 – 9
Wir dividieren durch die Zahl vor dem x:
12x = – 24 / : 12
12x : 12 = – 24 : 12
x = – 2
4. Schritt: Wir bestimmen die Lösungsmenge
L = {– 2}
Begründung: Der errechnete Wert – 2 ist Bestandteil der Grundmenge ℤ.
5. Schritt: Probe
Wir setzen für x den oben berechneten Wert von – 2 ein.
(2x + 3)² = (3x – 4) • (3x + 4) – 5x² + 1
[2 • (– 2) + 3]² = [3 • (– 2) – 4] • [3 • (– 2) + 4] – 5 • (- 2)² + 1
[- 4 + 3]² = [- 6 – 4] • [- 6 + 4] – 5 • 4 + 1
(-1)² = (-10) • (-2) – 20 + 1
1 = + 20 – 19
1 = 1 wahre Aussage