Gleichungen | Lösungen und Lösungsmenge:
Hier erhältst du einen Überblick über: Gleichungen | Lösungen und Lösungsmenge
Die Menge aller Zahlen, die Bestandteil der Grundmenge sind und die Gleichung in eine wahre Aussage überführen, bilden die Lösungsmenge.
Weiteres Übungsmaterial: Übungen | Aufgaben | Übungsblatt | Merkblatt | Überblick
Unter einer Gleichung versteht man die Gleichheit zweier Terme, die durch das Gleichheitszeichen (=) in eine Beziehung gesetzt werden.
Term 1 = Term 2
Beispiel: 4x + 2 = 8
Die Menge aller Zahlen, die Bestandteil der Grundmenge sind und die Gleichung in eine wahre Aussage überführen, bilden die Lösungsmenge.
Die Lösungsmenge wird mittels Äquivalenzumformungen ermittelt.
Lösen einer Gleichung:
Die Gleichung enthält eine Variable (Platzhalter).
Für diese muss die Zahl gefunden werden, die die Gleichheit der Terme erfüllt.
z.B. 4 + x = 12 G = ℕ (Natürliche Zahlen)
x = 8
Wenn wir für x den Wert 8 einsetzen, sind beide Terme gleich.
Lösungsmenge einer Gleichung:
Die Menge aller Zahlen, die Bestandteile der Grundmenge sind und die Gleichung in eine wahre Aussage überführen, bilden die Lösungsmenge.
Diese wird in einer geschwungenen Klammer angeschrieben.
Beispiel:
x = 8
8 ist Bestandteil der Grundmenge der natürlichen Zahlen (ℕ)
d.f. L = {8}
Arten von Lösungsmengen:
a) Genau eine Zahl ist Teil der Lösungsmenge:
z.B. x = 4 d.f. L = {4}
b) Keine Zahl ist Teil der Lösungsmenge:
z.B. 4 = 9 d.f. L = {}
c) Alle Zahlen sind Teil der Lösungsmenge:
z.B.4 = 4 d.f. L = {Definitionsmenge}
Ermittlung der Lösungsmenge:
Die Lösungsmenge wird mittels Äquivalenzumformungen ermittelt:
z.B. 4 + x = 12 / – 4
4 – 4 + x = 12 – 4 (Wir subtrahieren auf beiden Seiten – 4)
x = 8
Probe einer Gleichung:
Die ermittelte Lösung wird in die Grundgleichung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es eine wahre Aussage ergibt.
Vom vorigen Beispiel nehmen wir die Lösung 8 und setzen diese statt dem x in die Gleichung ein.
4 + x = 12
4 + 8 = 12
12 = 12 w.A.
Beispiel für eine Gleichung:
8x – (4 + 2x) = 4x – (5 – 3x)
1. Schritt: Klammer auflösen:
8x – 4 – 2x = 4x – 5 + 3x
2. Schritt: Zusammenfassen
6x – 4 = 7x – 5
3. Schritt: Äquivalenzumformung das kleinere x muss weg
6x – 4 = 7x – 5 / – 6x
– 4 = x – 5
4. Schritt: Äquivalenzumformung die Zahl neben dem x muss weg
– 4 = x – 5 / + 5
1 = x d.f. L = {1}
5. Schritt: Probe
8 • 1 – (4 + 2 • 1) = 4 • 1 – (5 – 3 • 1)
8 – (4 + 2) = 4 – (5 – 3)
8 – (6) = 4 – (2)
2 ist gleich 2 w.A.