Geometrie Vierecke | Seiten, Winkel & Symmetrie
Hier erhältst du einen Überblick zum Thema: Geometrie Vierecke | Seiten, Winkel & Symmetrie
Ein Viereck, auch Tetragon genannt, ist eine Figur der ebenen Geometrie.
Lerneinheiten: Übungen | 10 Fragen | Übungsblatt 1 | Übungsblatt 2 | Merkblatt
Ein Viereck ist ein Vieleck (Polygon) mit vier Ecken und vier Seiten (Kanten).
Die vier Strecken bilden die Seiten des Vierecks.
Ein Eckpunkt ergibt sich, wenn zwei Seiten aufeinander stoßen.
Allgemeine Eigenschaften:
Vierecke weisen folgende allgemeine Eigenschaften auf:
– 4 Innenwinkel, die mit griechischen Buchstaben beschriftet werden – alpha (α), beta (β), gamma (γ) und delta (δ). Die Winkelsumme der Innenwinkel beträgt 360°
– 4 Seiten, die mit Kleinbuchstaben beschriftet werden (a, b, c, d)
– 4 Eckpunkte, die mit Großbuchstaben beschriftet werden (A, B, C, D)
– 2 Diagonalen, die konvex (beide Diagonalen liegen innerhalb des Vierecks) oder konkav (eine Diagonale liegt außerhalb des Vierecks) sein können.
Einteilung nach Symmetrieachsen:
a) vier Symmetrieachsen: Quadrat
b) zwei Symmetrieachsen: Rechteck, Raute
c) eine Symmetrieachse: Deltoid, gleichschenkliges Trapez
d) keine Symmetrieachse: Parallelogramm, allgemeines Trapez, allgemeines Viereck
Einteilung nach Seitenlängen
a) vier gleich lange Seiten: Quadrat, Raute
b) zwei Paare gleich lange Seiten: Rechteck, Parallelogramm, Deltoid
c) ein Paar gleich lange Seiten: gleichschenkliges Trapez
d) keine gleich langen Seiten: allgemeines Trapez, allgemeines Viereck
Größe der Winkel:
a) vier gleich große Winkel = rechte Winkel: Quadrat, Rechteck
b) zwei Paare gleich große gegenüberliegende Winkel: Parallelogramm, Raute
c) zwei Paare gleich große benachbarte Winkel: gleichschenkliges Trapez
d) ein Paar gleich große gegenüberliegende Winkel: Deltoid
e) keine gleich großen Winkel: allgemeines Trapez, allgemeines Viereck
Quadrat:
Flächeninhalt: A = a * a oder A = d * d : 2
Umfang: U = 4 * a
Inkreis: ρ = a/2
Umkreis: r = d/2
Pythagoras: a² + a² = d²
Formel: d = a * √2
c) Figurbildende Eigenschaften:
– alle vier Seiten sind gleich lang
– die Diagonalen sind gleich lang, halbieren sich und stehen normal aufeinander
– vier rechte Winkel
– vier Symmetrieachsen
Rechteck:
b) Formeln:
Flächeninhalt: A = a * b
Umfang: U = (a + b) * 2
Pythagoras:
d = √ (a² + b²)
a = √ (d² – b²)
b = √ (d² – a²)
c) Figurbildende Eigenschaften:
– gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel
– die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich
– vier rechte Winkel
– zwei Symmetrieachsen
Raute (Rhombus):
Fläche: A = e * f : 2 oder A = a * ha
Umfang: U = 4 * a
Pythagoras:
a = √(e/2)² + (f/2)²
e/2 = √ a² – (f/2)²
f/2 = √ a² – (e/2)²
c) Figurbildende Eigenschaften:
– vier Seiten sind gleich lang
– die Diagonalen stehen senkrecht zueinander und halbieren sich
– gegenüberliegende Winkel sind gleich groß
– zwei Symmetrieachsen
Parallelogramm (Rhomboid):
b) Formeln:
Flächeninhalt: A = a * ha
oder A = b * hb
Umfang: U = (a + b) * 2
Pythagoras bei α < 90°:
e = (a + m)² + ha²
f = (a – m)² + ha²
Pythagoras bei α > 90°:
e = (a – m)² + ha²
f = (a + m)² + ha²
c) Figurbildende Eigenschaften:
– je zwei Seiten sind parallel und gleich lang
– die Diagonalen halbieren sich
– gegenüberliegende Winkel sind gleich groß
– keine Symmetrieachse
Deltoid (Drachenviereck):
b) Formeln:
Fläche: A = e * f : 2
Umfang: U = (a + b) * 2
Inkreis: ρ = 2 * A : U
Pythagoras:
x² = a² – (f/2)²
y² = b² – (f/2)²
e = x + y
c) Figurbildende Eigenschaften:
– jeweils zwei gleich lange Seiten
– die Diagonalen stehen senkrecht zueinander
– zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß
– eine Symmetrieachse
Trapez:
b) Formeln:
Fläche: A = (a + c) * h : 2
Umfang: U = a + b + c + d
Pythagoras:
d² = h² + x²
b² = h² + y²
e² = (a – y)² + h²
f² = √ (a – x)² + h²
c) Figurbildende Eigenschaften:
– vier Seiten sind unterschiedlich lang
– vier Winkel sind unterschiedlich groß
– zwei Seiten sind parallel zueinander
– keine Symmetrieachse
gleichschenkliges Trapez:
b) Formeln:
Fläche: A = (a + c) * h : 2
Umfang: U = a + 2 * b + c
Pythagoras:
b² = h² + x²
e² = f² = (a – x)² + h²
c) Figurbildende Eigenschaften:
– zwei Seiten sind gleich lang
– die Diagonalen sind gleich lang
– zwei benachbarte Winkel sind gleich groß
– eine Symmetrieachse