Aufgabe: Tetraeder Herleitung der Höhe
Leite die Formel für die des Höhe des Tetraeders her!
gegeben: Hypotenuse: a und Kathete 1
gesucht: Kathete 2 = h
Lösung: Tetraeder Herleitung der Höhe
Herleitung der Höhe (h):
Katehe 1: Diese beträgt 2/3 von der Grundflächenhöhe (ein gleichseitiges Dreieck)
1. Wir vereinfachen die gegebene Kathete 1:
2 von der Grundflächenhöhe (ein gleichseitiges Dreieck)
3
d.f. 2 von a • √3
3 2
d.f. 2 • a • √3 / Wir kürzen durch 2
3 2
d.f 1 • a • √3
3
2. Wir setzen in die Grundformel ein:
K2² = H² – K1²
h² = a² – (1/3 • a • √3)²
h² = a² – (1/9 • a² • √3² )
h² = a² – 1 • a² • 3
9
3. Wir kürzen den zweiten Teil der rechten Seite durch 3
h² = a² – 1 • a² • 3
9
h² = a² – 1 • a²
3
4. Wir bringen die rechte Seite auf den gemeinsamen Nenner:
h² = 3a² – a²
3
5. Wir fassen die rechte Seite zusammen:
h² = 2a²
3
6. Wir ziehen die Wurzel:
h = a • √2
√3
7. Wir machen die Formel wurzelfrei:
h = a • √2 • √3
√3 • √3
8. Formel:
h = a • √6
3