Aufgabe: Textgleichung Rechteck Substitutionsverfahren
Die Fläche eines Rechtecks beträgt 192 cm², die Diagonale d ist 20 cm lang.
Berechne die Länge und die Breite des Rechtecks!
Lösung: Textgleichung Rechteck Substitutionsverfahren
1. Schritt: Wir definieren die Variablen
a = Länge des Rechtecks
b = Breite des Rechtecks
2. Schritt: Wir stellen die Gleichungen auf
I. 192 = a * b / : b
→ a = 192/b
II. a² + b² = 400
3. Schritt: Wir berechnen die Variablen
Wir setzen den Gegenwert für a = 192/b in die zweite Gleichung ein!
(192/b)² + b² = 400
192² + b² = 400 / * b²
b²
192² + b4 = 400b² / – 400b²
b4 – 400b² + 192² = 0
Anmerkung: Wir lösen diese Aufgabe mit Substitution: u = b²
u² – 400u + 192² = 0
u1,2 = + 200 +/- √(200² – 192²)
u1,2 = + 200 +/- √(200² – 192²)
u1,2 = + 200 +/- 56
u1 = 256 und u2 = 144
Substitution auflösen:
Lösungsfall 1:
b² = 256 / √ Lösung: b = 16 (- 16 = keine Lösung)
→ a = 192/b d.f. 192/16 a = 12
Lösungsfall 2:
b² = 144 / √ Lösung: b = 14 (- 14 = keine Lösung)
→ a = 192/b d.f. 192/12 a = 16
Die Länge des Rechtecks beträgt 16 cm und die Breite beträgt 12 cm.
oder die Länge des Rechtecks beträgt 12 cm und die Breite beträgt 16 cm.