Aufgabe: Würfel wird in Quader umgegossen
Ein Würfel mit der Kantenlänge von 6 cm wird in einen Quader umgegossen.
Das Verhältnis der Grundkante des Quaders beträgt 1 : 8.
a) Berechne die die Grundkante und Höhe des Quaders
b) Berechne das Verhältnis der beiden Oberflächen
Lösung: Würfel wird in Quader umgegossen
a) Berechnung der Grundkante und Höhe des Quader.
1. Schritt: Wir berechnen das Volumen des Würfels
V = a³
V = 6³
V = 216 cm³
2. Schritt: Wir definieren die Variablen des Quaders
Grundkante: x
Höhe: 8x
3. Schritt: Wir berechnen Grundkante und Höhe des Quaders
Anmerkung: Würfel und Quader haben das gleiche Volumen.
Deshalb können wir beim Quader das Volumen des Würfels verwenden.
V = a • a • h
216 = x • x • 8x
216 = 8x³ / : 8
27 = x³ / : ³√
x = 3 cm
→ Grundkante a = x = 3 cm
→ Höhe h = 8 • x = 24 cm
A: Die Grundkante a beträgt 3 cm und die Höhe h beträgt 24 cm.
b) Verhältnis der beiden Oberflächen
1. Schritt: Wir berechnen die Oberfläche des Würfels
O = 6 • a²
O = 6 • 6²
O = 216 cm²
2. Schritt: Wir berechnen die Oberfläche des Quaders
O = 2 • a² + 4 • a • h
O = 2 • 3² + 4 • 3 • 24
O = 306 cm²
3. Schritt: Wir bestimmen das Verhältnis der beiden Oberflächen:
Würfel : Quader
216 cm² : 306 cm² / : 6
36 : 51 / : 3
12 : 17
A: Das Verhältnis der beiden Oberflächen beträgt 12 : 17