Aufgabe: Oktaeder Herleitung der Formeln
Leite die folgenden Formeln des Oktaeders her:
a) Oberfläche (O) ? b) Höhe (h) = ? c) Volumen (V) = ?
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Lösungen
a) Herleitung der Oberfläche:
1. Die Oberfläche besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken
Oberfläche (O) = 8 • a² • √3
4
2. Wir kürzen Zähler und Nenner durch 4
O = 8 • a² • √3
4
3. Formel:
O = 2 • a² • √3
b) Herleitung der Höhe
1. Vorbemerkung: Die Schnittfläche eines Oktaeders ist ein Quadrat.
Deshalb ist die Höhe des Oktaeders identisch mit der Diagonale eines Quadrats:
h = d = a • √2
2. Formel:
h = a • √2
c) Herleitung des Volumens (V):
1. Vorgegebene Grundformel für das Volumen
V = Gf • h
3
2. Bekannte Teilformeln:
Gf = a²
h = a • √2
Anmerkung:
Würde die Formel zuerst mit einer Pyramide berechnet, dann wäre die h = a • √2 : 2
Weil wir aber zwei Pyramiden haben h = a • √2 : 2 • 2
d.f. h = a • √2
3. Wir setzen die Teilformen für Gf und h in die Grundformel V ein:
V = a² • a • √2
3
4. Wir fassen zusammen = Formel:
V = a³ • √2
3