Kugel Formeln mit Durchmesser herleiten

Aufgabe: Kugel Formeln mit Durchmesser herleiten

Berechne aus den Formeln mit dem Radius jeweils folgende Formeln mit dem Durchmesser für die Kugel.

a) Oberfläche der Kugel (O = 4 • r² • π)

b) Volumen der Kugel (V = 4 • r³ • π)

Grundüberlegung:

Zwischen Radius und Durchmesser besteht folgende Beziehung:

r = d/2

Der Radius ist die Hälfte des Durchmesser.

Wir ersetzen in den Formeln jeweils r durch d/2.

a) Oberflächenformel mit Durchmesser:

Formel mit Radius:

O = 4 • r² • π

Wir ersetzen r durch d/2:

O = 4 • (d/2)² • π

Wir potenzieren und setzen das Ergebnis in die Formel ein:

NR: (d/2)² = (d/2) • (d/2) = d²/4

O = 4 • d² • π

Wir kürzen durch 4:

O = 4 : 4 • d² • π

4 : 4

O = 1 • d² • π

Wir erhalten das Ergebnis:

O = d² • π

b) Volumensformel mit Durchmesser

Formel mit Radius:

V = 4 • r³ • π

Wir ersetzen r durch d/2:

V = 4 • (d/2)³ • π

Wir potenzieren und setzen das Ergebnis in die Formel ein:

NR: (d/2)³ = (d/2) • (d/2) • (d/2) = d³/8

V = 4 • d³ • π

8 • 3

Wir kürzen durch 4:

V = 4 : 4 • d³ • π

8 : 4 • 3

V = 1 • d³ • π

2 • 3

Wir erhalten das Ergebnis:

V = d³ • π