Skizze Drehkegel:
Hier findest du alles Wissenswerte zum Drehkegel: Formeln, Skizze, Eigenschaften, Formeln Umkehraufgaben.
Bezeichnungen:
r = Radius
h = Körperhöhe
s = Mantellinie
Formeln:
a) allgemeine Formeln:
O = Gf + M
V = Gf • h : 3
b) spezielle Formeln:
Oberfläche: O = r • π • (r + s)
Volumen: V = r² • π • h : 3
Mantel: M = r • π • s
Grundfläche: Gf = r² • π (Kreis)
Pythagoras:
r = √ (s² – h²) Kathete
h = √ (s² – r²) Kathete
s = √ (r² + h²) Hypotenuse
Eigenschaften:
Der Drehkegel ist ein spitz zulaufender Körper, dessen Grundfläche ein Kreis ist.
Der Böschungswinkel liegt bei der Grundfläche und der Öffnungswinkel an der Spitze des Drehkegels.
Flächen:
Die Grundfläche eines Drehkegels ist ein Kreis mit dem Radius r.
Die Mantelfläche eines Drehkegels ist eine gekrümmte Seitenfläche, ausgebreitet ein Kreissektor mit dem Radius s und der Bogenlänge b = 2 • r • π.
Die Höhe eines Drehkegels ist der senkrechte Abstand zwischen dem Kreismittelpunkt und der Spitze.
Oberfläche/Volumen:
Die Oberfläche eines Drehkegels ist die Summe von Grundfläche und Mantelfläche.
Das Volumen eines Drehkegels beträgt 1/3 eines Zylinders bei gleichem Radius und Höhe.
Bei einem gleichseitigen Kegel sind der Durchmesser und die Mantelstrecke gleich lang.
Entstehung:
Ein Drehkegel entsteht durch die Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Kathete.
Der Kreissektorbogen b der Mantelfläche entspricht dem Umfang der Grundfläche.
Der Radius des Kreissektors entspricht der Mantelstrecke s des Drehkegels.
Formeln Umkehraufgaben:
Oberfläche: O = Gf + M
⇒ Gf = O – M
⇒ M = O – Gf
Oberfläche: O = r • π • (r + s)
Volumen: V = Gf • h : 3
⇒ Gf = 3 • V : h
⇒ h = 3 • V : Gf
Volumen: V = r² • π • h : 3
⇒ r = √ [3 • V : (h • π)]
⇒ h = 3 • V : (r² • π)
Mantel: M = r • π • s
⇒ r = M : (π • s)
Grundfläche: Gf = r² • π
⇒ r = √(Gf : π)
Beispiel:
r = 4,9 cm, s = 6,8 cm
a) Grundfläche (Gf) = ? b) Höhe (h) = ? c) Volumen (V)
a) Berechnung der Grundfläche (Gf):
Gf = r² • π
Gf = 4,9² • π
Gf = 75,43 cm²
A: Die Grundfläche beträgt 75,43 cm².
b) Berechnung der Höhe h:
h = √ (s² – r²)
h = √ (6,8² – 4,9²)
h = 4,7 cm
A: Die Höhe h beträgt 4,7 cm.
c) Berechnung des Volumens:
V = Gf • h : 3
V = 75,43 • 4,7 : 3
V = 118,17 cm³
A: Das Volumen beträgt 354,521 cm³.