Pythagoras ungleichseitiges Dreieck mit Umkreisradius

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Pythagoras ungleichseitiges Dreieck mit Umkreisradius

gegeben: a = 64 cm, b = 69 cm, c = 72 cm

gesucht: a) Höhe h_c = ? b) Flächeninhalt ? c) Umkreisradius ?

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Lösung:

Vorbemerkung:

Um die Höhe h_c ausrechnen zu können, müssen wir eine Gleichung aufstellen, in der das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreieck aufgeteilt wird. Dazu wird die Seite c in x und in c – x aufgeteilt.

a) Berechnung von h_c:

1. Ermittlung vom Pythagoras:

h_c² = a² – x²

h_c² = b² – (c-x)²

2. Aufstellen der Gleichung:

a² – x² = b² – (c – x)²

64² – x² = 69² – (72 – x)²

4096 – x² = 4761 – (5184 – 144x + x²)

4096 – x² = 4761 – 5184 + 144x – x²

4096 – x² = – 423 + 144x – x² / + x²

4096 = – 423 + 144x / + 423

4519 = 144x / : 144

x = 31,38cm

3. Einsetzen in die pythagoreische Formel:

h_c² = a² – x²

h_c = √(64² – 31,38²)

h_c = 55,78 cm

A: Die Höhe h_c beträgt 16,46 cm.

b) Berechnung des Flächeninhaltes:

A = c * h_c : 2

A = 72 * 55,78 : 2

A = 2 008,08 cm²

A: Der Flächeninhalt beträgt 2 008,08 cm².

c) Berechnung des Umkreisradius:

Umkreisradius: r = a*b*c

4*A

Umkreisradius: r = 64 * 69 * 72

(4 * 2008,08)

Umkreisradius: r = 39,58 cm

A: Der Umkreisradius beträgt 39,58 cm.