Aufgabe: Unterjährige Renten Vollraten u. Restzahlung 6
Angabe: 400 000,- € sind für ein Grundstück in Form einer nachschüssigen Rente Monatsrente mit € 5 000,- i4 = 2,5%, welche sofort beginnt zu bezahlen.
Fragestellung:
a) Wie viele Vollraten sind zu bezahlen?
b) Wie hoch ist der Restbetrag zu Rentenbeginn?
Lösung: Unterjährige Renten Vollraten u. Restzahlung 6
1. Schritt: Wir definieren die Variablen:
Barwert B = € 400 000,-
Abzinsungsfaktor 1/q = 1/1,025 (q = 1 + 2,5/100 = 1,025)
Da wir monatliche Renten haben, und es sich um einen Vierteljahreszinssatz i4 = 2,5% handelt, müssen wir noch die 3. Wurzel vom Abzinsungssatz ziehen oder äquivalent dazu hoch 1/3 berechnen.
d.f. Quartalszinssatz = (1/1,025) 1/3 = 0,9918…. (abspeichern)
2. Schritt: Wir berechnen die Vollraten
B = Barwert a = Rate 1/q = Abzinsungsfaktor n = Verzinsungsabschnitte
400 000 = 5 000 * 0,9918.. * (0,9918…n – 1) : (0,9918… – 1)
400 000 = 4 959,01… * (0,9918…n – 1) : (0,9918… – 1) / : 4 959,01…
80,66… = (0,9918…n – 1) : (0,9918.. – 1) / * (0,9918… – 1)
-0,66…. = 0,9918…n – 1 / + 1
0,338… = 0,9918…n / logarithmieren
ln 0,338…. = n * ln 0,9918… / : ln 0,9918…
n = ln 0,338…. : ln 0,9918….
n = 131,4936…
n = 131 Vollraten
A: Es sind 131 Vollraten zu bezahlen.
3. Schritt: Berechnung der Restrate zum Rentenbeginn
Vorbemerkung: Dazu berechnen wir den Gesamtbetrag der Vollraten, um ihn dann vom Ausgangswert abzuziehen.
B131= 5 000 * 0,9918.. * (0,9918…131 – 1) : (0,9918… – 1)
B131 = 399 165,53 €
R = B – B131
R = 400 000 – 399 165,53
R = 834,47 €
A: Der Restbetrag R beträgt zu Rentenbeginn 834,47 €.