Exponentionelles Wachstum Holzbestand Übung

Exponentionelles Wachstum Holzbestand:

Vor 10 Jahren betrug der Holzbestand eines Waldes 7000 m³

Ohne Schlägerung ist er bereits auf 9880 m³ angewachsen.

a) Berechne das jährliche Wachstum in % pro Jahr

b) Berechne die Zeitspanne, innerhalb der sich der Holzbestand verdoppelt

c) In vier Jahren will man 4000 m³ Holz schlägern. Wann wird der Wald wieder den heutigen Holzbestand erreichen?

N_t = N₀ * a^t

1. Wir definieren die Variablen:

N₀= 7 000 N_t = 9 880 t = 7

2. Schritt: Wir berechnen a:

9 880 = 7 000 * a¹⁰ / : 7 000

1,411 ….. = a¹⁰ / ¹⁰√

a = 1,035 060 87

3. Schritt: Wir stellen eine Wachstumsfunktion auf:

N_t = N₀ * 1,1035 060 87^t

N_t = N₀ * a ^t

Verdoppelung: N_t = 2 * N₀

2* N₀ = N₀*1,035 060 87^t / : N₀

2 =1,035 060 87^t / log (Zehnerlogarithmus)

log 2 = t * log 1,035 …. / : log 1,035

t = log 2 : log 1,035…

t = 20,11 Jahre d.f. ca. 20 Jahre

A: Der Holzbestand verdoppelt sich in ca. 20 Jahren.

1. Schritt: Holzbestand in 4 Jahren

N₄ = 9 880 * 1,035 060 87..⁴

N₄ = 11 340,1945….

2. Schritt: Schlägerung vom Holzbestand abziehen

11 340,1945…. – 4000 = 7 340,1945….

3. Schritt: Wann wird wieder der heutige Holzbestand erreicht

9 880 = 7 340,1945…. * 1,035 06 ^t / : 7 340,1945….

1,346… = 1,035 06… ^t / (Zehnerlogarithmus)

log 1,346… = t * log 1,035… / : log 1,035…

t = lg 1,3460…. : lg 0,0344….

t = 8,62 Jahre

A: 8,62 Jahre nach der Schlägerung ist der Holzbestand wieder erreicht.