Exponentialgleichungen mit gleicher Basis Übung 4

Aufgabe: Exponentialgleichungen mit gleicher Basis Übung 4:

Löse folgende Exponentialgleichung ohne zu Logarithmieren:

27 * (1/81)^x-2 = 729^4-x Grundmenge = ℝ

27 * (1/81)^x-2 = 729^4-x

1. Schritt: wir bilden die gleiche Basis – hier 3

3³ * (3^-4)^x-2 = (3⁶)^4-x

Anmerkung:

27 = 3³ und 1/81 = 3^-4 und 729 = 3⁶

2. Schritt: wir multiplizieren im Exponenten

3³ * 3^-4^x+8 = 3^24-6x

3. Schritt: wir fassen die linke Seite der Gleichung zusammen

3³^-4^x+8 = 3^24-6x

3^-4^x+11 = 3^24-6x

Exponenten mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.

4. Schritt: wir kürzen die gemeinsame Basis – hier 3

3^-4^x+11 = 3^24-6x

5. Schritt: wir berechnen x

– 4x + 11 = 24 – 6x / + 6x

2x + 11 = 24 / – 11

2x = 13 / : 2

x = + 6,5 ⇒ L = {6,5}

Probe:

Wir ersetzen im Exponenten x durch 6,5:

27 * (1/81)^6,5-2 = 729^4-6,5

27 * (1/81)^4,5 = 729^-2,5

0,0000007 = 0,0000007 wahre Aussage