Aufgabe: Exponentialgleichung mit gleicher Basis Übung 3
Löse folgende Exponentialgleichung ohne zu Logarithmieren:
16 * 256x-1 = (1/4)2x-3 Grundmenge = ℝ
Lösung: Exponentialgleichung mit gleicher Basis Übung 3
16 * 256x-1 = (1/4)2x-3
1. Schritt: wir bilden die gleiche Basis – hier 4
42 * (44)x-1 = (4-1)2x-3 (Anmerkung: 256 = 44)
2. Schritt: wir multiplizieren im Exponenten
42 * 44x-4 = 4–2x+3
3. Schritt: wir fassen die linke Seite der Gleichung zusammen
4 2 + 4x – 4 = 4 – 2x + 3
Exponenten mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.
4 +4x – 2 = 4 – 2x + 3
4. Schritt: wir kürzen die gemeinsame Basis – hier 4
4 + 4x – 2 = 4– 2x + 3
5. Schritt: wir berechnen x
4x – 2 = -2x + 3 / + 2x
6x – 2 = + 3 / + 2
6x = 5 / : 6
x = + 0,8333.. ⇒ L = {0,8333..}
Probe:
Wir ersetzen im Exponenten x durch (0,8333..):
16 * 2560,8333…-1 = (1/4)2*0,833..-3
6,349…. = 6,349.. wahre Aussage