Definition: Wachstumsfunktion
Wachstumsfunktionen bilden eine exponentionelle Zunahme ab und werden meist mit folgender Formel dargestellt.
Graphische Darstellung:
Nachstehend ist folgende Funktion abgebildet: f (x) = 0,5 * 1,5x
Wachstumsfunktionen Eigenschaften:
Aus der obigen graphischen Darstellung mit der Funktion f (x) = 0,5 * 1,5x lassen sich folgende allgemeingültige Aussagen für eine Wachstumsfunktion ableiten:
Sämtliche Funktionswerte sind positiv (liegen oberhalb der x-Achse).
Für a > 1 ist die Funktion streng monoton wachsend (Wachstumsfunktion)
Wird das Argument um 1 vergrößert, dann ändert sich der Funktionswert mit dem Faktor a:
f (x + 1) = f (x) * a
Bei a > 1 wächst f (x) mit wachsendem x immer stärker
Verdoppelungszeit:
Die Verdoppplungszeit ist ein wichtiger Parameter für die Berechnung von Wachstumsfunktionen, da ihre Anwendung es ermöglicht, eine Variable der Wachstumsfunktion zu eliminieren (Nt).
Der Zeitwert Nt wird definiert mit 2 * N0 (Verdoppelung des Ausgangswertes)
2 * N0 = N0 * a t / : N0
d.f. 2 = a t
Beispiel:
Die Anzahl der Bakterien verdoppelt sich in 8 Stunden.
a) Wie lautet die Wachstumsfunktion?
b) wann sind 100 000 Bakterien vorhanden, wenn es zu Beginn 500 waren?
Lösung:
a) Wachstumsfunktion:
1. Schritt: Wir definieren die Variablen:
Ausgangswert: N0
Zeitwert: Nt = 2 * N0 (Verdoppelung des Ausgangswertes)
Zeitdauer der Verdoppelung: t = 8 Stunden Maß für das Wachstum: a = ?
2. Schritt: Wir berechnen a
Nt = N0 * at
2 * N0 = N0 * a 8 / : N0
b) t für 100 000 Bakterien
Ausgangswert: N0 = 500
Zeitwert: Nt = 100 000
Zeitdauer: t = ? Stunden
Maß für das Wachstum: a = 1,090 507…