Gleichseitiges Dreieck | Formeln, Eigenschaften & Beispiele

Kategorie: Gleichseitiges Dreieck
Dreiecke, Flächen, gleichseitiges Dreieck, gleichseitiges Dreieck Formeln

Gleichseitiges Dreieck:

Hier findest du die Lerneinheit: Gleichseitiges Dreieck | Formeln, Eigenschaften & Beispiele

Das gleichseitige Dreieck ist ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten sowie drei gleichen Winkeln von jeweils 60°.

Formeln:

Flächeninhalt 1: A = a² : 4 • √3

Flächeninhalt 2: A = a • ha : 2

Höhe: ha = a : 2 • √3

Umfang: U = 3 • a

Inkreis r = ha • ¹/₃

Umkreis R = ha • ²/₃

Eigenschaften:

Fläche/Winkel:

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang.

Die drei Innenwinkel betragen jeweils 60° (α = β = γ).

Bezeichnungen: Seiten: a = b = c, Winkel: α (alpha), β (beta) und γ (gamma), r = Inkreisradius, R = Umkreisradius

Symmetrieachsen:

Das gleichseitige Dreieck verfügt über 3 Symmetrieachsen.

Die vier merkwürdigen Punkte (H = I = U = S) fallen alle im Mittelpunkt zusammen.

Jede Symmetrieachse teilt das gleichseitige Dreieck in jeweils zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.

Der Mittelpunkt teilt die ihn bildenden Strecken im Verhältnis 2 : 1.

Das gleichseitige Dreieck verfügt über einen In- und Umkreis.

Der Inkreis beträgt 1/3 der Höhe ha und der Umkreis beträgt 2/3 der Höhe ha.

Umfang und Flächeninhalt:

Der Umfang wird berechnet, indem wir alle drei Seiten addieren.

Der Flächeninhalt wird berechnet, indem wir das Produkt von Basis und Höhe halbieren.

Formeln Umkehraufgaben:

Flächeninhalt: A = a² : 4 • √3

⇒ a = √(4 • A : √3)

Flächeninhalt: A = a • ha : 2

⇒ a = 2 • A : ha

⇒ ha = 2 • A : a

Formel für die Höhe: ha = a/₂ • √3

⇒ a = 2 • ha : √3

Formel für den Umfang: U = 3 • a

⇒ a = U : 3

Formel für den Inkreis: r = ha • ¹/₃

⇒ ha = 3 • r

Formel für den Umkreis: R = ha• ²/₃

⇒ ha = 3 • R : 2

Beispiel:

Gleichseitiges Dreieck a = 4,5 cm

gesucht:

a) die Höhe h_a = ?

b) Flächeninhalt A = ?

c) Umfang U = ?

a) Höhe ha:

ha = a : 2 • √3

ha = 4,5 : 2 • √3

ha = 3,90 cm

A: Die Höhe ha beträgt 3,90 cm.

b) Flächeninhalt:

A = a² : 4 • √3

A = 4,5² : 4 • √3

A = 8,77 cm²

A: Der Flächeninhalt beträgt 8,77 cm².

c) Umfang

U = 3 • a

U = 3 • 4,5

U = 13,5 cm

A: Der Umfang beträgt 13,5 cm.

Weitere Beispiele:

Aufgabe 1 Lösung

gegeben: a = 3,2 cm

gesucht: a) die Höhe h_a b) Fläche (A) c) Umfang (U)

Aufgabe 2 Lösung

Gleichseitiges Dreieck a = 8,4 cm

a) Höhe ha = ?

b) Inkreis und Umkreisradius ?

Aufgabe 3 Lösung

gegeben: gleichseitiges Dreieck mit einem Flächeninhalt von 320 cm²

gesucht: a) Seitenkante a = ? b) Höhe h_a = ? c) Umfang = ?

Gleichseitiges Dreieck | Formeln, Eigenschaften & Beispiele

Gleichseitiges Dreieck:

Formeln:

Eigenschaften:

Symmetrieachsen:

Umfang und Flächeninhalt:

Formeln Umkehraufgaben:

Flächeninhalt: A = a² : 4 • √3

Flächeninhalt: A = a • ha : 2

Formel für die Höhe: ha = a/₂ • √3

Formel für den Umfang: U = 3 • a

Formel für den Inkreis: r = ha • ¹/₃

Formel für den Umkreis: R = ha• ²/₃

Beispiel:

a) Höhe ha:

b) Flächeninhalt:

c) Umfang

Weitere Beispiele:

Aufgabe 1 Lösung

Aufgabe 2 Lösung

Aufgabe 3 Lösung

gleichseitiges Dreieck Übungen:

gleichseitiges Dreieck Videos

PDF-Übungsblätter:

Gleichseitiges Dreieck | Formeln, Eigenschaften & Beispiele

Gleichseitiges Dreieck:

Formeln:

Eigenschaften:

Symmetrieachsen:

Umfang und Flächeninhalt:

Formeln Umkehraufgaben:

Flächeninhalt: A = a² : 4 • √3

Flächeninhalt: A = a • ha : 2

Formel für die Höhe: ha = a/2 • √3

Formel für den Umfang: U = 3 • a

Formel für den Inkreis: r = ha • 1/3

Formel für den Umkreis: R = ha • 2/3

Beispiel:

a) Höhe ha:

b) Flächeninhalt:

c) Umfang

Weitere Beispiele:

Aufgabe 1 Lösung

Aufgabe 2 Lösung

Aufgabe 3 Lösung

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PDF-Übungsblätter:

Formel für die Höhe: ha = a/₂ • √3

Formel für den Inkreis: r = ha • ¹/₃

Formel für den Umkreis: R = ha• ²/₃