Aufgabe: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Übung 2
Ermittle die Funktion 3. Grades mit den Nullstellen N1 (-1/0), N2 (2/0) einem Extrempunkt bei (0/4).
Lösung: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Übung 2
1. Schritt: Wir ermitteln die Gleichung für f (x) und leiten sie ab
y = ax³ + bx² + cx + d
y´ = 3ax² + 2bx + c
y´´ = 6ax + 2b
2. Schritt: Wir stellen die Gleichungen auf
Nullstelle 1: f (-1) = 0 ⇒ I. 0 = – a + b + – c + d
Nullstelle 2: f (2) = 0 ⇒ II. 0 = 8a + 4b + 2c + d
Extrempunkt: f (0) = 0 ⇒ III. d = 4
Extrempunkt f´(0) = 0 ⇒ IV. c = 0
3. Schritt: Wir berechnen b
Wir ersetzen c mit 0 und d mit 4:
I. – a + b + 4 = 0
II. 8a + 4b + 4 = 0
I. – a + b = – 4 / * 8
II. 8a + 4b = – 4
I. – 8a + 8b = – 32
II. 8a + 4b = – 4
12b = – 36 / : 12
b = – 3
4. Schritt: Wir berechnen a
Wir ersetzen b mit – 3:
I. – a – 3 = – 4 / + 3
– a = – 1 / : (- 1)
a = 1
5. Schritt: Wir stellen die Funktion auf:
f (x) = ax³ + bx² + cx + d
f(x) = x³ – 3x² + 4