Extremwertaufgaben Rechteck minimalster Umfang
Von allen Rechtecken mit dem gegebenen Flächeninhalt ist jenes mit dem minimalsten Umfang zu ermitteln.
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1. Hauptbedingung:
U = (a + b) * 2
2. Nebenbedingung:
A = a * b / : b
a = A : b
3. Berechnung der Extremwerte:
U (b) = (a + b) * 2
U (b) = (A : b + b) * 2
U (b) = A + b
b
Anmerkung: 2 ist eine Konstante und kann weggelassen werden
4. Wir bilden die 1. Ableitung!
A (b) = A * b-1 + b Vor dem Ableiten holen wir b in den Zähler
A’ (b) = – A * b–² + b
A’ (b) = – A + 1
b²
5. Wir berechnen b:
0 = – A + 1 / * b²
b²
0 = – A + b² / + A
A = b² / √
√A = b
6. Wir berechnen a, indem wir den Nenner rational machen
a = A / * √A
√A / * √A
a = √A
7. Wir berechnen den minimalsten Umfang:
U = 2a + 2b
U = 2*√A + 2*√A
U = 4*√A