Aufgabe: Extremwertaufgabe quadratisches Prisma
Bestimme die Seitenlängen jenes quadratisches Prisma, das bei gegebener Kantenlängensumme l = 144 cm, den geringsten Materialverbrauch aufweist.
Lösung: Extremwertaufgabe quadratisches Prisma
1. Hauptbedingung:
Die Hauptbedingung ist die Oberflächenformel für ein Prisma mit quadratischer Grundfläche.
O = 2a² + 4ah
2. Nebenbedingung:
Die Nebenbedingung ist die Kantenlängensumme des Prismas.
Diese setzt sich zusammen aus 8 mal Kantenlänge a (Grund- und Deckfläche), sowie 3 mal Kantenlängen h (Mantelfläche).
8a + 4 h = 144
Wir vereinfachen, indem wir durch 4 kürzen:
8a + 4 h = 144 / : 4
2a + h = 36
Wir isolieren die Höhe h:
2a + h = 36 / – 2a
h = 36 – 2a
3. Berechnung der Extremwerte:
Wir setzen in die Hauptbedingung die Nebenbedingung = h ein.
O (a) = 2a² + 4a * (36 – 2a)
Wir multiplizieren:
O (a) = 2a² + 144a – 8a²
Wir vereinfachen:
O (a) = – 6a² + 144a
4. Wir bilden die 1. Ableitung!
O (a) = – 6a² + 144a
O’ (a) = – 12a + 144
5. Wir berechnen a:
Wir setzen die 1. Ableitung gleich 0.
0 = – 12a + 144
Wir isolieren a:
– 12a + 144 / + 12a
12a = 144 / : 12
a = 12 cm
6. Wir berechnen h:
Die Formel für h entnehmen wir der Nebenbedingung.
h = 36 – 2a
Wir ersetzen a mit 12
h = 36 – 2 * 12
h = 36 – 24
h = 12 cm
A: Die Seite a beträgt 12 cm und die Höhe beträgt ebenfalls 12 cm.
7. Wir berechnen die Oberfläche:
Wir entnehmen die Formel der Hauptbedingung:
O = 2a² + 4ah
Wir ersetzen a und h jeweils mit 12:
O = 2 * 12² + 4 * 12 * 12
O = 868 cm²
A: Der Materialverbrauch beträgt 868 cm².