Aufgabe: Bruchgleichung AHS Beispiel 2
Löse folgende Bruchgleichung mit der Grundmenge ℝ
4x +1 – 2 – 4x = -2x + 546
x + 5 x – 5 2x² – 50
gesucht: Definitionsmenge x ≠ ? Lösungsmenge = ?
Lösung: Bruchgleichung AHS Beispiel 2
1. Schritt: Definitionsmenge
x + 5 ≠ 0 / – 5 d.f. x ≠ – 5
x – 5 ≠ 0 / + 5 d.f. x ≠ + 5
D = ℝ {-5;+5}
2. Schritt: Bestimmung des Hauptnenners:
1. Nenner: (x + 5) (x – 5) * 2
2. Nenner: (x – 5) (x + 5) * 2
3. Nenner: 2x² – 50 d.f. 2 * (x – 5) * (x + 5)
d.f. gemeinsamer Nenner: 2 * (x – 5) * (x +5)
3. Schritt: Gleichung mit Hauptnenner multiplizieren
4x + 1 – 2 – 4x = -2x + 546 / * 2 * (x – 5) * (x + 5)
x + 5 x – 5 2x² – 50
4. Schritt: Berechnen von x1, x2
(4x + 1) * (x – 5) * 2 – (2 – 4x) * (x + 5) * 2 = -2x + 546
(4x + 1) * (2x – 10) – (2 – 4x) * (2x + 10) = -2x + 546
8x² + 2x – 40x – 10 – (4x – 8x² + 20 – 40x) = -2x + 546
8x² + 2x – 40x – 10 – 4x + 8x² – 20 + 40x) = -2x + 546
16x² – 2x – 30 = -2x + 546
16x² – 2x – 30 = -2x + 546 / + 2x
16x² – 30 = 546 / + 30
16x² = 576 / : 16
x² = 36 / √
x1 = -6 und x2 = 6
5. Schritt: Vergleich der Lösungen mit der Definitionsmenge
Da beide Lösungen aufgrund der Definitionsmenge nicht ausgeschlossen sind: L = {-6; 6}.