Kegelschnitt Hyperbelgleichung:
Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte, deren Differenz für die zwei festen Punkte F1 und F2 (Brennpunkte) den konstanten Wert 2a aufweist.
Hyperbel der 1. Hauptlage:
F1 (-e/0), F2 (e/0), A (-a/0), B (a/0), C (0/b), D (0/-b)
e² = a² + b²
Formel der 1. Hauptlage:
Asymptoten der 1. Hauptlage:
Beispiel:
Hyperbel in erster Hauptlage mit a = 6, b = 5
gesucht: Gleichung der Hyperbel, Scheitelpunkte, Brennpunkte und Asymptoten
Gleichung der Hyperbel:
b²x² – a²y² = a²b²
25x² – 36y² = 900
Scheitelpunkte:
A (-a/0), B (a/0), C (0/b), D (0/-b)
A (-6/0), B (+6/0), C (0/5), D (0/-5)
Brennpunkte:
e² = a² + b²
e = √(6² + 5²)
e = ± √61 (nur + √61 kann eine Lösung sein)
⇒ F1 (- e/0), F2 (√e/0)
⇒ F1 (-√61/0), F2 (√61/0)
Asymptoten:
a1,2: y = ± b/a * x
a1,2: y = ± 5/6 * x
Hyperbel der 2. Hauptlage:
F1 (0/-e), F2 (0/e), A (0/-a), B (0/a), C (-b/0), D (b/0)
e² = a² + b²
Formel der 2. Hauptlage:
Beispiel:
Hyperbel in zweiter Hauptlage mit a = 4, b = 3
gesucht: Gleichung der Hyperbel, Scheitelpunkte und Brennpunkte
Gleichung der Hyperbel:
– a²x² + b²y² = a²b²
-16x² + 9y² = 144
Scheitelpunkte:
A (0/-a), B (0/a), C (-b/0), D (b/0)
A (0/-4), B (0/4), C (-3/0), D (3/0)
Brennpunkte:
e² = a² + b²
e = √(4² + 3²)
e = ± 5 (nur + 5 kann eine Lösung sein)
⇒ F1 (0/-5), F2 (0/5)
Asymptoten:
a1,2: y = ± a/b * x
a1,2: y = ± 4/3 * x
Tests:
Merkblätter:
Hyperbel 1. Hauptlage Merkblatt
Hyperbel 2. Hauptlage Merkblatt