Definition Logarithmus:
Mit dem Logarithmus können wir in einer Gleichung die Unbekannte berechnen, wenn sie im Exponenten steht.
Anders formuliert ist der Logarithmus von b zur Basis a jener Exponent, mit dem man a potenzieren muss um b zu erhalten.
Kurzform: a log b = Logarithmus von b zur Basis a
Formel Logarithmus:
Erklärung:
a = Basis
b = Numerus
x = Unbekannte
Die Gleichung ax = b und für die gilt a ∈ ℝ+ {1}, b ∈ ℝ+ besitzt genau 1 Lösung.
Beispiel für die Berechnung:
Beispiel:
2log 8 = ?
1. Schritt: exponentielle Form anschreiben
2x = 8
2. Schritt: den Numerus auf die gleiche Basis umwandeln (hier 2):
2x = 23
3. Schritt: Aus den Exponenten die Lösung ablesen (hier x = 3)
x = 3 d.f. 2log 8 = 3
Besondere Logarithmen:
a) Logarithmus mit der Basis 10
Der Logarithmus wird abgekürzt angeschrieben:
aus 10lg b ⇔ lg b
b) Logarithmus mit der Basis e (natürlicher Logarithmus)
Auch dieser Logarithmus wird abgekürzt angeschrieben:
aus elg b ⇔ ln b
Umwandlung von Logarithmen:
Muss ein Logarithmus umgewandelt werden z.B. Basis 2 auf Basis 10 (bzw. natürlicher Logarithmus) so ist folgende Formel anzuwenden:
Beispiel:
2log 3 =
2log 3 = 1/log2 * log 3
Rechenregeln fürs Logarithmieren und Entlogarithmieren:
1. Regel: alog (u * v) = alog u + alog v
Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren.
Beispiel: log 2x = log 2 + log 2x
2. Regel: alog (u : v) = alog u – alog v
Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Dividend und Divisor.
Beispiel: log 2 : x = log 2 – log 2x
3. Regel: alog ur = r * alog u
Eine Potenz wird logarithmiert, indem man den Exponenten mit dem zugrunde liegenden Logarithmus multipliziert.
Beispiel: log x³ = 3 * log x
4. Regel: alog r√u = 1/r * alog u
Eine Wurzel wird logarithmiert, indem man sie in die Exponentenschreibweise überführt und den Exponenten dann mit dem zugrunde liegenden Logarithmus multipliziert.
Beispiel: log ³√x = x1/3 = 1/3 * log x