Aufgabe: Geometrische Reihe Quadrat im Quadrat eingeschrieben
Einem Quadrat mit der Seitenlänge a wird ein Quadrat, dessen Eckpunkte die Seiten des ursprünglichen Quadrats im Verhältnis 3 : 4 teilen, eingeschrieben usw. siehe Symbolskizze.
a) Die Summe der Umfänge der ersten fünf Quadrate
b) Die Summe der Flächeninhalte der ersten fünf Quadrate.
Lösung: Geometrische Reihe Quadrat im Quadrat eingeschrieben
a) Lösung Seite a:
Wir berechnen a2
a2² = (3/7a1)² + (4/7a1)²
a2² = 9/49a1² + 16/49a1²
a2² = 25/49a1² / √
a2 = 5/7 a1
b) Lösung 5 Umfänge:
Wir berechnen die ersten 5 Umfänge
Vorbemerkung: b1 = 4*a1 und q = 5/7 = 0,714… (Store)
sn = b1 * (qn – 1)
(q – 1)
s5 = 4a1 * (0,714….5 -1)
(0,714… – 1)
s5 = 11,3969… a LE
A: Die Summe der ersten 5 Umfänge beträgt 11,3969…a LE.
c) 5 Flächeninhalte:
Wir berechnen die ersten 5 Flächeninhalte
Vorbemerkung: b1 = a1² und q = (5/7)² = 0,5102….. (Store)
sn = b1 * (qn – 1)
(q – 1)
s5 = a1² * (0,5102…5 -1)
(0,5102 – 1)
s5 = 1,971… a1² FE
A: Die Summe der ersten 5 Flächeninhalte beträgt 1,971… a1² FE.