Aufgabe: Winkelfunktionen Millennium Tower Schattenlänge
Der Millennium Tower in Wien (Breitengrad 48° 12′) ist 202 m hoch.
Was für ein Schatten wirft er zu Mittag?
a) am 21. Juni (höchster Sonnenstand)
b) am 21. Dezember (niedrigster Sonnenstand)
Lösung: Winkelfunktionen Millennium Tower Schattenlänge
1. Schritt: Aufstellen der Formeln:
Hierbei ist der Neigungswinkel der Erde bei der Umlaufbahn um die Sonne zu berücksichtigen (Ekliptik).
Diese beträgt ε = 23° 27′. Der Breitengrad = β beträgt hier 48° 12′.
Höchster Sonnenstand = phi max = 90° – (β – ε)
Niedrigster Sonnenstand = phi min = 90° – (β + ε)
tan α = GK : AK
2. Schritt: Wir berechnen phi max und phi min
Vorberechnung:
48° 12 ‘ = 48 + 12/60 = 48,2° und 23° 27’ = 23 + 27/60 = 23,45°
phi max = 90° – (beta – epsilon)
phi max = 90° – (48,2° – 23,45°)
phi max = 65,25°
phi min = 90° – (beta + epsilon)
phi min= 90° – (48,2° + 23,45°)
phi min = 18,35°
3. Schritt: Wir berechnen die Schattenlänge für den 21. Juni
tan α = Gegenkathete (GK)
Ankathete (AK)
tan 65,25° = 202 : AK / * AK
tan 65,25° * AK = 202 / : tan 65,25°
AK = 202 : tan 65,25°
AK = 93,12 m
Die Schattenlänge am 21. Juni beträgt 93,12 m.
4. Schritt: Wir berechnen die Schattenlänge für den 21. Dezember
tan α = Gegenkathete (GK)
Ankathete (AK)
tan 18,35° = 202 : AK / * AK
tan 18,35° * AK = 202 / : tan 18,35°
AK = 202 : tan 18,35°
AK = 609,01 m
Die Schattenlänge am 21. Dezember beträgt 609,01 m.