Aufgabe: Vektoren quadratische Pyramide O und V
Gegeben: quadratische Pyramide mit Grundfläche ABCD [A (0/0/3), B (4/4/5), C, D (4/-2/-1)]. Die Spitze S liegt in der Ebene ε: z = 8.
a) ermittle die Koordinaten von C
b) ermittle die Koordinaten von S
c) Zeige, dass ABCD ein Quadrat ist.
d) Berechne das Volumen
e) Berechne die Oberfläche
Lösung:
a) Wir ermitteln die Koordinate C:
vAD = (4/-2/-1) – (0/0/3)
vAD = (4/-2/-4)
C = B + vAD
C = (4/4/5) + (4/-2/-4)
C = (8/2/1)
b) Wir ermitteln die Spitze S:
1. Schritt: Berechne den Mittelpunkt M:
vAC = (8/2/1) – (0/0/3) d.f. vAC = (8/2/-2)
M = A + vAC : 2
M = (0/0/3) + (4/1/-1)
M = (4/1/2)
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2. Schritt: Wir ermitteln den Normalvektor der Grundfläche (Ausgangspunkt B):
A (0/0/3), B (4/4/5), C, D (4/-2/-1)
vBA = (0/0/3) – (4/4/5) d.f. (-4/-4/-2)
vBC = (8/2/1) – (4/4/5) d.f. (4/-2/-4)
Kreuzprodukt:
vBA x vBC
(-4/-4/-2) x (4/-2/-4) = (12/24/24) / : 12
vn = (1/2/2)
3. Schritt: Wir stellen eine Gerade auf, die durch den Mittelpunkt M geht:
Anmerkung: Der Normalvektor der Ebene entspricht dem Richtungsvektor der Geraden, die durch den Mittelpunkt M geht!
g: vx = M + vn
g: vx = (4/1/2) + s * (1/2/2)
4. Schritt: Wir schneiden die Ebene ε mit der Geraden g:
Anmerkung: Da die Ebene nur aus z = 8 besteht, brauchen wir von der Geraden nur die “z-Zeile”:
z = (2 + 2s) und z = 8
d.f. g ∩ ε
(2 + 2s) = 8
2 + 2s = 8 / – 2
2s = 6 / : 2
s = 3
5. Schritt: Wir ermitteln S, indem wir für s die Zahl 3 in der Gerade einsetzen:
g: vx = (4/1/2) + 3 * (1/2/2)
Sx = 4 + 3 *1 d.f. Sx = 7
Sy = 1 + 3 * 2 d.f. Sy = 7
Sz = 2 + 3 * 2 = d.f Sz = 8
S (7/7/8)
c) Zeige, dass ABCD ein Quadrat ist
1. Schritt: Wir ermitteln die Diagonalen vAC und vBD
vAC = (8/2/1) – (0/0/3) d.f. (8/2/-2)
vBD = (4/-2/-1) – (4/4/5) d.f. (0/-6/-6)
2. Schritt: Wir berechnen die Länge der Diagonalen:
IvACI = √(8² + 2² + (-2)²) = √72
IvBDI = √(0² + (-6)² + (-6)²) = √72
Die Diagonalen sind gleich lang!
3. Schritt: Wir multiplizieren, die Vektoren der beiden Diagonalen:
(8/2/-2) * (0/-6/-6) = 0 – 12 + 12 = 0
Die Diagonalen stehen im rechten Winkel aufeinander!
A: Da die Diagonalen gleich lang sind und im rechten Winkel aufeinander stehen, handelt es sich um ein Quadrat!
e) Berechne die Oberfläche
1. Schritt: Die Grundfläche kennen wir vom Volumen
Gf = 36 FE
2. Schritt: Der Mantel wird mit dem Normalvektor einer Seitenfläche * 4 berechnet
vBA = (0/0/3) – (-4/-4/5) = (-4/-4/2)
vBS = (7/-5/8) – (-4/-4/-5) = (3/-9/3)
Kreuzprodukt (-4/-4/-2) x (3/-9/3)
d.f. vn = (30/-6/48)
Eine Seitenfläche ist die Hälfte des Normalvektors (Dreieck)
IvnI = √(30² + (-6)² + 48²)
IvnI = 56,92
d.f. Seitenfläche 56,92 : 2 = 24,46 FE
3. Schritt: Oberflächenberechnung:
O = Gf + M
O = 36 + 4 * 24,46
O = 149,8 FE