Definition: Kettenregel
Mithilfe der Kettenregel werden zusammengesetzte Funktionen abgeleitet.
Merkmale:
Bei der Kettenregel handelt es sich also um eine Ableitungsregel, die angewendet wird, wenn zwei Funktionen miteinander verkettet sind.
Kernaussage der Kettenregel ist, dass man die Ableitung einer Funktion erhält, indem man die beiden miteinander verketteten Funktionen separat ableitet und danach die abgeleiteten Teile wieder miteinander multipliziert.
Innere und äußere Ableitung:
Hinsichtlich der Ableitung spricht man hier von einer inneren und äußeren Ableitung.
Bei der äußeren Ableitung wird der gesamte Klammerausdruck abgeleitet.
Bei der inneren Ableitung, nur der Bereich in der Klammer.
Formel:
Bei der Kettenregel wird folgende Formel angewendet:
f (x) = → f′ (x) = g′ (h(x)) • h′ (x)
g’ = äußere Ableitung
h’ = innere Ableitung
Beispiel 1:
f (x) = (5x² – 3)³
f (x) = → f′ (x) = g′ (h(x)) • h′ (x)
f (x)´ = äußere Ableitung • innere Ableitung
f (x)´ = 3 • (5x² – 3)² • 10x
f (x)´ = 3 • 10 x • (5x² – 3)²
f (x)´ = 30x • (5x² – 3)²
Beispiel 2:
f (x) = √ (4x² – 1)
f (x) = (4x² – 1)1/2
f (x) = → f′ (x) = g′ (h(x)) • h′ (x)
f (x)´ = äußere Ableitung • innere Ableitung
f (x)´ = 1/2 • (4x² – 1)-1/2 • 8x
f (x)´ = 1/2 • 8x • (4x² – 1)-1/2
f (x)´ = 4x • (4x² – 1)-1/2
Anmerkung: da hoch – 1/2 kommt die Klammer in den Nenner.